Enunciado

Que diferença de fase entre duas ondas iguais, a não ser pela constante de fase, que se propagam no mesmo sentido em corda esticada, produz uma onda resultante de amplitude 1,5 vez a amplitude comum das duas ondas? Expresse a resposta (a) em graus, (b) em radianos e (c) em comprimentos de onda.

Passo 1

Fala galerinha bonita, tudo beleza?

Esse exercício aqui quer que a gente encontre qual a diferença de fase entre duas ondas iguais que se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada, produz uma onda resultante 1,5 vezes a amplitude das duas ondas.

Então calma ai meu patrão, vamos entender melhor essa brincadeira.

Queremos saber a diferença de fase da onda resultante entre essas outras duas ondas, ok?

A malandragem pra gente resolver essa questão é lembrar do princípio da superposição.

Basicamente é o seguinte: se você tem duas ondas no mesmo meio, a função da onda resultante é simplesmente a soma das duas ondas originais:

y R = y 1 + y 2

Onde y R é a onda resultante, enquanto que y 1 e y 2   são as ondas que geram y R . Então dado a função geral:

y x , t = y m sen ⁡ ( k x - ω t + φ )

Como o enunciado nos disse que a única diferença entre as ondas é a constante de fase φ , teremos que y 1 será:

y 1 x , t = y m sen ⁡ ( k x - ω t + φ 1 )

E y 2 vai ser:

y 2 x , t = y m sen ⁡ ( k x - ω t + φ 2 )

Então belezoca, só pra gente recapitular, queremos encontrar qual a diferença de fase que produz uma onda de amplitude resultante A , tal que:

A = 1,5 y m

Onde A é a amplitude da onda resultante y R .

Já que o que importa é a diferença de fase, vamos colocar a constante de fase da primeira onda como zero, e a diferença entre as fases vai ser simplesmente:

Δ φ = φ 2 - φ 1

De modo que:

y 1 x , t = y m sen ⁡ ( k x - ω t ) ,     y 2 x , t = y m sen ⁡ ( k x - ω t + Δ φ )

Show de bola, conseguimos escrever as equações de onda para cada onda, então agora bora lá ver como fica a onda resultante.

Passo 2

Maravilha, então por enquanto nossa equação está assim:

y R = y 1 + y 2

Substituindo as funções de onda que encontramos, vamos obter que:

y R = y m sen ⁡ ( k x - ω t ) + y m sen ⁡ ( k x - ω t + Δ φ )

Belezoca, então a equação para essa soma na superposição de ondas, nos fornece que:

y R = 2 y m cos ⁡ Δ φ 2 sen ⁡ k x - ω t + Δ φ 2

E essa é nossa função da onda resultante.

Passo 3

Agora a função ficou numa forma bem mais tranquila de lidar. Então com a função seno varia entre - 1 e 1 , a amplitude da nossa função de onda resultante vai ocorrer em:

A = 2 y m cos ⁡ Δ φ 2

E como o nosso objetivo é ter:

A = 1,5 y m

Vamos ter que:

1,5 y m = 2 y m cos ⁡ Δ φ 2

Então se a gente isolar a diferença de fase Δ φ , vamos obter que:

cos ⁡ Δ φ 2 = 1,5 2

cos ⁡ Δ φ 2 = 0,75

E então:

Δ φ 2 = a r c c o s ⁡ ( 0,75 )

Ou seja, é o arco cujo cosseno vale 0,7 5 , e como na letra (a) queremos a resposta em graus, teremos que:

Δ φ 2 = 41,4 °

Δ φ = 82,8 °

Portanto, na letra (a), a diferença de fase será escrita como:

Δ φ = 82,8 °

Passo 4

Agora na letra (b) queremos encontrar a mesma diferença de fase só que escrita em radianos, e como já encontramos o valor em graus, podemos só transformar as unidades, de modo que:

2 π   rad - - - 360 °

Δ φ - - - 82,8 °

Resolvendo essa regra de três:

Δ φ = 1,45   rad

Passo 5

E por fim, na letra (c), precisamos expressar a diferença de fase em comprimentos de onda (como um comprimento de onda corresponde à 2 π ), logo:

  λ - - - 2 π   rad

Δ φ - - - 1,45   rad

Resolvendo essa regra de três:

∆ φ = 1,45 2 π   λ

∆ φ = 0,230   λ

Prontinho galera!

Resposta

(a) Δ φ = 82,8 °

(b) Δ φ = 1,45   rad

(c) 0,230   λ  

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