Enunciado

Luz com comprimento de onda de 480   n m incide normalmente em quatro fendas. Cada fenda tem 2,00   μ m de largura e a separação centro a centro entre ela e a próxima fenda é 6,00   μ m . (a) Determine a largura angular do máximo central de intensidade do padrão de difração de fenda simples em um anteparo distante. (b) Determine a posição angular de todos os máximos de interferência que estão no interior do máximo central de difração. (c) Determine a largura angular do máximo central de interferência. Isto é, determine o ângulo entre os primeiros mínimos de interferência de cada lado do máximo central de interferência. (d) Faça um esboço da intensidade relativa como função do seno do ângulo.

Passo 1

Olá pessoal, tudo certo com vocês? Espero que sim 😊. Vamos entender melhor essa questão?

Certo! Observe que, podemos usar s i n θ   =   λ / a para encontrar os primeiros zeros na intensidade padrão. Os máximos de interferência de quatro raios ocorrem nos ângulos dados por d   s i n θ   =   m λ , onde m   =   0,1 , 2 ,   . . . . Em (c), podemos usar o resultado do Problema 53 para encontrar a distribuição angular entre a interferência central máxima e a primeira interferência mínima em ambos os lados da mesma. Em (d) usaremos um diagrama de fases para um grade de quatro ranhuras para encontrar a amplitude resultante em um determinado ponto da intensidade padrão em função da constante de fase δ , que, por sua vez, é uma função do ângulo θ que determina a localização de um ponto no padrão de interferência.

Passo 2

Certo! Os primeiros zeros na intensidade ocorrem nos ângulos dados por:

sin ⁡ θ = λ a

θ = sin - 1 ⁡ λ a

Substituindo numericamente os valores, encontraremos que

θ = sin - 1 ⁡ 480   n m 2,00   μ m = 242   m r a d

Passo 3

Já no item b) Os máximos de interferência de quatro raios ocorrem nos ângulos dados por:

d sin ⁡ θ = m λ

θ m = sin - 1 ⁡ m λ d

onde,

m = 0,1 , 2,3 ,   …

Substituindo numericamente, temos

θ m = sin - 1 ⁡ m 480   n m 6,00   μ m = sin - 1 ⁡ 0,0800   m

Avaliando θ m para m   =   0 ,   1 ,   2 ,   e   3 :

θ 0 = sin - 1 ⁡ 0 0,0800 = 0

θ 1 = sin - 1 ⁡ 1 0,0800 = ± 80,1   m r a d

θ 2 = sin - 1 ⁡ 2 0,0800 = ± 161   m r a d

θ 3 = sin - 1 ⁡ 3 0,0800 = ± 0,242   r a d

onde θ 3 não será visto como coincidindo com o primeiro mínimo no padrão de difração.

Passo 4

Já estamos quase terminando. Para o item d) vamos usar o método de fasor para mostrar a superposição de quatro ondas da mesma amplitude A 0 e diferença de fase constante δ = 2 π λ   d sin ⁡ θ .

Assim, vamos expressar A em termos de δ ' e δ ' ' :

A = 2 A 0 cos ⁡ δ ' ' + A 0 cos ⁡ δ ' '

Como a soma dos ângulos externos de um polígono é igual a 2 π , temos:

2 α + 3 δ = 2 π

Examinando o diagrama de fases, vemos isso:

α   + δ   ' '   = π

Eliminar α e resolver para δ ' ' para obter:

δ ' ' = 3 2 δ

Como a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é n - 2 π , temos:

3 ϕ + 2 δ ' ' = 3 π

A partir da definição de um ângulo reto que temos:

ϕ - δ ' + δ = π

Eliminamos ϕ entre estas equações para obter:

δ ' = 1 2 δ

Substituir δ '' e δ '' na equação de A vamos obter:

A = 2 A 0 ( cos ⁡ 3 2 δ + cos ⁡ 1 2 δ )

Como a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude da onda resultante, encontraremos

I = 4 I 0 cos ⁡ 3 2 δ + cos ⁡ 1 2 δ 2

O seguinte gráfico do I / I 0 em função do s i n θ foi plotado utilizando uma planilha. O envelope de difração foi traçado usando I I 0 = 4 2 sin ⁡ 1 2 ϕ 1 2 ϕ 2 , onde ϕ = 2 π λ   a sin ⁡ θ . Note o excelente acordo com os resultados calculados em (a), (b) e (c).

Passo 5

Pronto! Finalizamos a questão 😊. Nos vemos na próxima questão. OK? Até mais.

Resposta

a )   θ = 242   m r a d

b )   θ 0 = 0

θ 1 = ± 80,1   m r a d

θ 2 = ± 161   m r a d

c )   θ m i n = 20   m r a d

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