Enunciado

Luz monocromática incide em uma lâmina que tem três fendas longas, estreitas e igualmente espaçadas por uma distância d . (a) Mostre que as posições dos mínimos de interferência em um anteparo a uma grande distância L da lâmina com as fendas (com d ≪ λ ) são dadas aproximadamente por y m = m λ L / 3 d , onde m = 1,2 , 4,5 , 7,8 , 10 ,   … , isto é, m não é múltiplo de 3 . (b) Para um anteparo a um distância de 1,00   m , luz de comprimento de onda de 500   n m e um espaçamento entre as fontes de 0,100   m m , calcule a largura do máximo principal de interferência (a distância entre mínimos sucessivos) para as três fontes.

Passo 1

Olá pessoal, tudo certo com vocês? Espero que sim 😊. Vamos entender melhor essa questão?

Certo! Observe que, podemos usar conceitos de fasor para encontrar o ângulo de fase δ em termos do número de fasores N (três neste problema) formando um polígono fechado de N lados nos mínimos e então usar esta informação para expressar a diferença de caminho Δ r para cada um destes locais. Aplicando uma pequena aproximação de ângulo, podemos obter uma expressão para y que podemos avaliar para um número suficiente de diferenças de trajetória para estabelecer o padrão dado na declaração do problema.

Passo 2

Certo, vamos expressar o ângulo de fase δ em termos do número de fasores N formando um polígono fechado de N lados:

δ = m 2 π N

Onde

m = 1,2 , 3,4 , 5,6 , 7 , …

Para três fontes igualmente espaçadas, o ângulo de fase é:

δ = m 2 π 3

Expressamos a diferença de trajetória correspondente a este ângulo de fase a obter:

Δ r = λ 2 π δ = m λ 3

Máximas interferências ocorrem por:

m = 3,6 , 9,12 , … .

Mínimas interferências ocorrem por:

m = 1,2 , 4,5 , 7,8 , …

Note que m não é um múltiplo de 3.

Expressar a diferença do caminho Δ r em termos de sin ⁡ θ e a separação d das fendas:

Δ r = d sin ⁡ θ

ou, desde que a aproximação de ângulos pequenos seja válida,

Δ r = y d L

y = L d Δ r

Substituindo y na equação que expressa a diferença de caminho Δ r :

y m i n = m λ L 3 d ,   m = 1,2 , 4,5 , 7,8 , …  

Passo 3

Para o item b) basta substituir numericamente os valores dados pela questão na equação encontrada no item a). Portanto

2 y m i n = 2 500   n m 1,00 m 3 0,100   m m = 3,33   m m

Passo 4

Pronto! Finalizamos a questão 😊. Nos vemos na próxima questão. OK? Até mais.

Resposta

a )   y m i n = m λ L 3 d ,   m = 1,2 , 4,5 , 7,8 , …  

b )   2 y m i n = 3,33   m m

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