Enunciado

Na soma A → + B → = C → , o vetor A → tem um módulo de 12,0   m e faz um ângulo de 40,0 ° no sentido anti-horário com o semieixo x positivo; o vetor C → tem um módulo de 15,0   m e faz um ângulo de 20,0 ° no sentido anti-horário com o semieixo x negativo. Determine (a) o módulo de B → e (b) o ângulo de B → com o semieixo x positivo.

Passo 1

Para resolver este tipo de problema é preciso lembrar que para somar dois vetores podemos obter as componentes escalares dos vetores e, em seguida, combiná-las, eixo por eixo, com isso obtemos as componentes do vetor soma e escrevendo as componentes usando a notação de vetores unitários podemos escrever o vetor resultante da soma. Logo:

r → = a → + b → = a x + b x i ^ + a y + b y j ^

Para isso, precisamos lembrar que, dado o módulo do vetor ( ‖ r → ‖ ) e o ângulo que este faz com o semieixo x positivo ( θ ), podemos escrever suas componentes da seguinte maneira:

r x = r cos ⁡ θ

r y = r sin ⁡ θ

Não menos importante, devemos nos lembrar que o módulo de um vetor r → é dado por:

r = r x 2 + r y 2 + r z 2

E o ângulo medido em relação ao semieixo x positivo é dado por:

θ = tan - 1 ⁡ r y r x

Neste problema nós conhecemos o módulo de dois vetores ( A = 12   m e C = 15   m ) e dois ângulos ( θ A = 40 ° no sentido anti-horário com o semieixo x positivo e θ B = 20 ° no sentido anti-horário com o semieixo x negativo) e precisamos determinar o módulo do vetor B → e o ângulo que este vetor faz com o semieixo x positivo.

Passo 2

Para determinar as componentes escalares do vetor A → utilizaremos as equações explicitadas acima, pois, para este vetor, o ângulo dado foi em função do semieixo x positivo, então podemos substituir direto os valores:

A x = 12 cos ⁡ 40 ° = 9,2   m

A y = 12 sin ⁡ 40 ° = 7,7   m

Em contra partida, o vetor C → foi determinado em função do semieixo x negativo, portanto, podemos determinar o valor do ângulo em função do semieixo x positivo somando 180 ° no ângulo dado, assim:

C x = 15 cos ⁡ ( 20 ° + 180 ° ) = - 14,1   m

C y = 15 sin ⁡ ( 20 ° + 180 ° ) = - 5,1   m

Passo 3

Reescrevendo a soma vetorial dada no enunciado ( A → + B → = C → ), de forma que deixemos o vetor B → isolado, ao invés do vetor C → :

B → = C → - A →

Agora, subtraímos as componentes eixo por eixo:

B x = C x - A x = - 14,1 - + 9,2 = - 23,3   m

B y = C y - A y = - 5,1 - + 7,7 = - 12,8   m

Portanto, podemos combinar essas componentes de B → para escrever o vetor em termos dos vetores unitários:

B → = B x i ^ + B y j ^ = - 23,3 i ^ - 12,8 j ^

Passo 4

Para encontrar o módulo do vetor B → usaremos a equação explicitada no passo 1 :

B = B x 2 + B y 2 = - 23,3 2 + - 12,8 2 = 26,6   m

Passo 5

Para determinar o ângulo que o vetor B → faz com o semieixo x positivo também usaremos a equação explicitada no passo 1 :

θ B = tan - 1 ⁡ B y B x = tan - 1 ⁡ - 12,8 - 23,3 = 28,8 °   o u   208,8 °

Devemos tomar cuidado quando utilizando a função tan - 1 ⁡ x na calculadora, pois dois ângulos θ e θ + 180 ° possuem o valor. Assim, precisamos determinar em qual quadrante o nosso vetor está a partir da análise do sinal das componentes.

Como nosso vetor B → possui a componente x e a componente y negativas, então este só pode estar no terceiro quadrante, pois é o único cujo o seno e cosseno são negativos, portanto:

θ B = 208,8 °

Resposta

  1. B = 26,6   m ;
  2. θ B = 208,8 ° .
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