Enunciado

Campo elétrico no interior de um átomo de hidrogênio. Um átomo de hidrogênio é constituído por um próton com carga + Q = 1,60 × 10 - 19   C e um elétron com carga - Q = - 1,60 × 10 - 19   C . Podemos considerar o próton uma carga puntiforme situada em r = 0 , o centro do átomo. O movimento do elétron faz com que sua carga seja ‘espalhada’ ao longo de uma distribuição esférica em torno do próton, de modo que o elétron seja equivalente a uma carga por unidade de volume dada por

ρ r = - Q π a 0 3 e - 2 r / a 0

Em que a 0 = 5,29 × 10 - 11   m é o chamado raio de Bohr. a Calcule a carga total do átomo de hidrogênio contida em uma esfera de raio r centralizada sobre o próton. Mostre que, quando r → ∞ , a carga contida nesse volume tende a zero. Explique esse resultado. b Encontre o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico produzido pelo átomo de hidrogênio em função da distância r . c Faça um gráfico do módulo do campo elétrico E em função de r .

Passo 1

Para iniciarmos esse exercício, precisamos lembrar que a carga elétrica pode ser definida em função da densidade volumétrica de carga e do volume da superfície em questão, ou seja:

Q = ∫ ρ d V

Assim, a carga total do átomo de hidrogênio será a soma da carga do próton e da carga do elétron, tal que:

Q T = Q p + Q e

Q T = Q + ∫ ρ r d V

Como o volume do elétron é esférico, ele pode ser escrito como:

d V = 4 π r 2 d r

Então, a carga total é:

Q T = Q - 4 π Q π a 0 3 ∫ r 2 e - 2 r / a 0 d r

Como o raio do átomo vai de 0 (centro) a r (superfície), podemos substituir a variável de integração de r para a fazendo:

Q T = Q - 4 Q a 0 3 ∫ 0 r a 2 e - 2 a / a 0 d a

Passo 2

A integral pode ser resolvida através da integração por partes, com u = a 2 e d v = e - 2 a / a 0 d a , tal que d u = 2 a d a e v = - a 0 e - 2 a / a 0 / 2 :

∫ 0 r a 2 e - 2 a / a 0 d a = a 2 - a 0 e - 2 a a 0 2 + ∫ a 0 e - 2 a a 0 2 2 a d a | r 0

= - a 2 a 0 e - 2 a a 0 2 + a 0 ∫ a e - 2 a a 0 d a | r 0

E, usando a integração por partes novamente com w = a e d z = e - 2 a / a 0 d a , tal que d w = d a e z = - a 0 e - 2 a / a 0 / 2 , então:

= - a 2 a 0 e - 2 a a 0 2 + a 0 - a a 0 e - 2 a a 0 2 + ∫ a 0 e - 2 a a 0 2 d a | r 0

Portanto:

= - a 2 a 0 e - 2 a a 0 2 - a a 0 2 e - 2 a a 0 2 + a 0 2 2 - a 0 e - 2 a a 0 2 | r 0

= - a 2 a 0 e - 2 a a 0 2 - a a 0 2 e - 2 a a 0 2 - a 0 3 e - 2 a a 0 4 | r 0

Substituindo o intervalo de integração:

= - r 2 a 0 e - 2 r a 0 2 - r a 0 2 e - 2 r a 0 2 - a 0 3 e - 2 r a 0 4 + a 0 3 4 = - e - 2 r a 0 r 2 a 0 2 + r a 0 2 2 + a 0 3 4 - a 0 3 4 e 2 r a 0

Passo 3

Logo, a carga elétrica será dada por:

Q T = Q - 4 Q a 0 3 - e - 2 r a 0 r 2 a 0 2 + r a 0 2 2 + a 0 3 4 - a 0 3 4 e 2 r a 0

Q T = Q + Q e - 2 r a 0 2 r 2 a 0 2 + 2 r a 0 + 1 - e 2 r a 0

Portanto:

Q T = Q r = Q e - 2 r a 0 2 r 2 a 0 2 + 2 r a 0 + 1

Podemos concluir que, ao olhar essa equação, quando r → ∞ o valor da função exponencial tende a zero e, então, a carga total também tende a zero. Isso ocorre porque o volume total se aproximará de infinito, fazendo com que a carga total do próton e do elétron esteja distribuída em uma pequena parcela do volume de raio infinito e tenha pouca influência sobre o volume.

Passo 4

Visto que a carga total em função do raio r da esfera é positivo, então pela lei de Gauss:

Φ = E A = Q T ϵ 0

E 4 π r 2 = 1 ϵ 0 Q e - 2 r a 0 2 r 2 a 0 2 + 2 r a 0 + 1

Logo:

E = k r 2 Q e - 2 r a 0 2 r 2 a 0 2 + 2 r a 0 + 1

O campo elétrico é positivo e, por isso, tem fluxo para fora do centro da esfera.

Passo 5

O gráfico do campo elétrico E em função do raio r é dado por:

Resposta

a   Q e - 2 r a 0 2 r 2 a 0 2 + 2 r a 0 + 1

b   k r 2 Q e - 2 r a 0 2 r 2 a 0 2 + 2 r a 0 + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Campos elétricos em um átomo. Os núcleos de grandes átomos, como o urânio com 92 prótons, podem ser modelados como esferas simétricas de carga. O raio do núcleo de urânio é de aproximadamente 7,4 × 10
Uma carga puntiforme de + 5,0μ C está localizada no eixo x , em x = 4,0m , próxima a uma superfície esférica de raio igual a 3,0m e centralizado na origem. a Calcule o módulo do campo elétrico em x =
Repita o Problema 22.38 , porém agora supondo que o tubo condutor possua uma carga por unidade de comprimento igual a - α . Como no Problema 22.38 , o fio carregado possui uma carga por unidade de com
Uma pequena esfera com massa de 0,002g e carga de 5,0 × 10 - 8C está suspensa por um fio, próxima a uma grande placa condutora carregada, como indica a Figura 22.37 . A densidade de carga sobre a plac
Uma esfera condutora sólida de raio R com carga Q está no interior de uma casca esférica muito fina isolante e concêntrica, com raio 2 R e que possui também uma carga Q . A carga Q está distribuída un