Enunciado

Dois alto-falantes são acionados em fase por um amplificador de áudio na frequência de 600 Hz. Os alto-falantes estão no eixo y, um em y = +1,00 m, e outro em y = –1,00 m. Uma ouvinte, começando em (x, y) = (D, 0), onde D >> 2,00 m, caminha na direção + y ao longo da linha x = D. (Veja o Problema 36.) (a) Em que ângulo θ ela ouvirá um mínimo na intensidade do som? (θ é o ângulo entre o eixo x positivo e a linha desde a origem até a ouvinte.) (b) Em que ângulo ela primeiro ouvirá um máximo na intensidade do som (após θ = 0)? (c) Quantos máximos ela pode ouvir se continuar andando na mesma direção?

Passo 1

Bom, se a ouvinte está exatamente no eixo x no momento inicial, a uma distância D do ponto médio entre os dois alto-falantes, então ela estará ouvindo um máximo, pois não existe diferença entre os caminhos que as ondas de cada fonte percorrem, e o enunciado diz que os alto-falantes estão em fase.

Como ela se move na direção paralela a y, a intensidade do som irá diminuir até metade de um comprimento de onda (haverá um mínimo ai) e quando ela se deslocar um comprimento de onda inteiro em relação à posição inicial, ela irá ouvir outro máximo.

Então vamos aplicar a equação dos mínimos em relação ao ângulo:

d s e n θ m = m λ 2

Sendo que m só pode ser ímpar.

Passo 2

Podemos escrever λ em termos da velocidade e da frequência:

λ = v f

E a equação fica:

d s e n θ m = m v 2 f

Isolando θ m :

θ m = a r c s e n m v 2 d f

Como a letra (a) pede o primeiro mínimo, fazemos m=1, e substituímos os valores numéricos:

θ 1 = a r c s e n 343 m / s 2 ( 2.00 m ) ( 600 H z ) = 8.22 °

Passo 3

Na letra (b), usaremos a equação para os máximos:

d s e n θ m = m λ

Substiuimos λ de novo:

d s e n θ m = m v f

E isolamos θ m :

θ m = m v d f

Fazendo para m=1 de novo, mas dessa vez para encontrarmos o primeiro máximo:

θ m = 343 m / s ( 2.00 m ) ( 600 H z ) = 16.6 °

Passo 4

Na (c) basta fazermos o mesmo procedimento na (b), mas sem determinarmos exatamente o m, a ideia aqui é que como queremos o m máximo, precisamos determinar o máximo que a função seno poderá assumir, que é 1

d s e n θ m = m ��

s e n θ m = m λ d = 1

E isolando m:

m = d λ = d f v

Substituindo os valores:

m = 600 H z 2.00 m 343 m / s = 3.50

Como m deve ser inteiro, vamos truncar o resultado:

m = 3

Resposta

a θ m = 8.22 °

b θ m = 16.6 °

c m = 3

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