Enunciado

Duas ondas progressivas iguais, que se propagam no mesmo sentido, estão defasadas de π / 2   r a d . Qual é amplitude da onda resultante em termos da amplitude comum y m das duas ondas?

Passo 1

Belezoca pessoal, o enunciado nos disse que duas ondas progressivas iguais se propagam no mesmo sentido e estão defasadas de π 2   rad , sabendo disso ele quer que a gente encontre a amplitude da onda resultante em termo da amplitude comum y m das duas ondas.

Mas espera lá chefia, vamos com calma. Agora estamos falando de interferência entre ondas. A malandragem pra resolver essa questão é a gente lembrar do princípio da superposição.

Quando duas ondas se propagam no mesmo meio, o deslocamento resultante é a soma dos deslocamentos gerados por cada onda. Vamos escrever isso em forma matemática:

y r e s = y 1 + y 2

Onde y r e s é o deslocamente da onda resultante, que é a soma dos deslocamentos das outras ondas, y 1 e y 2 .

Agora vamos lembrar da função para o deslocamento:

y x , t = y m sen ⁡ ( k x - ω t )

Então pra primeira onda, podemos dizer que ela é dada como:

y 1 x , t = y m sen ⁡ ( k x - ω t )

Sendo assim, a segunda vai ser exatamente a mesma coisa, mas defasada por φ = π 2   rad , logo:

y 2 x , t = y m sen ⁡ k x - ω t + φ

Passo 2

Iradoso, agora vamos substituir esses deslocamentos y 1 e y 2 na soma do deslocamento resultante y r e s :

y r e s = y 1 + y 2

Tal que:

y r e s = y m sen ⁡ ( k x - ω t ) + y m sen ⁡ k x - ω t + φ

E o nosso objetivo nessa questão é encontrar a amplitude dessa onda resultante. Então podemos lembrar que a equação para essa soma na superposição de ondas, nos fornece que:

y r e s = 2 y m cos ⁡ φ 2 sen ⁡ k x - ω t + φ 2

E essa é nossa função da onda resultante.

Passo 3

Então como a função seno varia entre - 1 e 1 , a amplitude A da função de onda resultante vai ser dada como:

A = 2 y m cos ⁡ φ 2

E como o enunciado nos deu que as ondas estão defasadas por φ = π 2   rad , vamos obter que a amplitude será:

A = 2 y m cos ⁡ π 4

Como cos ⁡ π 4 = 2 2 , obtemos que a amplitude da onda resultante será:

A = 2 y m 2 2  

A = 2 y m

Pronto! Esse é o ponto de máximo da função resultante, e portanto é a amplitude da onda.

Resposta

A amplitude é y m = 2 y m

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