Enunciado

Dois capacitores têm, ambos, duas placas condutoras com área de superfície A e a espessura da camada de ar é igual a d . Eles são conectados em paralelo, como mostra a Figura 24 - 43 , e cada um tem carga Q na placa carregada positivamente. Uma lâmina que tem largura d , área A e constante dielétrica k , é inserida entre as placas de um dos capacitores. Calcule a nova carga Q ' na placa carregada positivamente deste capacitor depois que o equilíbrio eletrostático foi restabelecido.

Passo 1

Beleza... Então vejamos primeiro o que está acontecendo, pode ser?

A gente tem aqui dois capacitores idênticos com carga Q conectados em paralelo...

E aí de repente em um dos capacitores a gente insere um dielétrico nele...

E ai as cargas vão se redistribuir pelo fato de que a capacitância de um deles vai mudar, de modo que vai sobrar em cima dele uma carga Q ' , que é justamente o que queremos encontrar neste problema, saca?

Mas para isso, tenha em mente que a carga total Q t o t que é soma das cargas nas placas duas placas positivas dos capacitores sempre permanece constante...

Q t o t = c t e

Passo 2

Primeiro, vamos filosofar um pouco sobre os capacitores:

Antes de inserir o material dielétrico, no capacitor, a capacitância de cada capacitor ( C 1 e C 2 ) era...

C 1 = ε 0 A d             e         C 2 = ε 0 A d       →

A capacitância total, já que os capacitores estão em paralelo é...

C t o t = C 1 + C 2 = 2 ε 0 A d

Como de acordo com a teoria, dada que a tensão em cima dois capacitores é V a n t e s (antes de inserir o material...

Q t o t = C t o t V a n t e s

Q t o t = 2 ε 0 A d V a n t e s

Passo 3

Agora, vamos considerar que o dielétrico já foi inserido...

Nesse caso, a capacitância 2 sofre uma alteração para...

C 1 = ε 0 A d             e         C 2 = k ε 0 A d

Então a nova capacitância total será...

C t o t = ε 0 A d + k ε 0 A d

E pela como a carga total tem que se conservar...

Q t o t = ε 0 A d + k ε 0 A d V d e p o i s = 2 ε 0 A d V a n t e s

ε 0 A d 1 + k V d e p o i s = 2 ε 0 A d V a n t e s

1 + k V d e p o i s = 2 V a n t e s

V d e p o i s = 2 V a n t e s 1 + k

Passo 4

Beleza! Agora é relativamente tranquilo, sabe por quê?

Q ' vai ser igual a...

Q ' = C 2 V d e p o i s

Só que o novo C 2 , como vimos no passo anterior é...

C 2 = k ε 0 A d

Então...

Q ' = k ε 0 A d V d e p o i s

Enquanto isso, V d e p o i s é...

Q ' = k ε 0 A d 2 V a n t e s 1 + k     →

Q ' = 2 k 1 + k ⋅ ε 0 A d V a n t e s     →

Agora olha que maneiro, quem era a carga antes do bagulho ser inserido?

Q = ε 0 A d V a n t e s

Certo? Então...

Q ' = 2 k 1 + k Q

Resposta

Q ' = 2 k 1 + k Q

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