Enunciado

Dois eletrodos circulares com 10 cm de diâmetro, separados por 0,50 cm de distância, formam um capacitor de placas paralelas. Os eletrodos estão presos por fios de metal aos terminais de uma bateria de 15 V. Depois de um longo tempo, o capacitor é desconectado da bateria, mas não é descarregado. Quais serão as cargas sobre cada eletrodo, a intensidade do campo elétrico no interior do capacitor e a diferença de potencial entre os eletrodos:

a. Exatamente após a bateria ter sido desconectada?

b. Após os eletrodos terem sido afastados um do outro, com as mãos isoladas, até ficarem separados por 1,0 cm? Os eletrodos permanecem conectados à bateria durante o processo.

c. Após os eletrodos originais (não os eletrodos modificados do item

(b) serem expandidos até ficarem com o diâmetro de 20 cm enquanto permanecem conectados à bateria?

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo? Temos um problema de capacitor de placas paralelas. Segundo o livro texto, o campo elétrico no interior de um capacitor de placas paralelas é E → = Δ V C d = 15 V 0.5 × 1 0 - 2 m = 3000 V / m ,   o u   3 k V / m . Precisamos encontrar as cargas. Para isso temos que levar em conta o campo uniforme gerado, que é dado por E → = σ ϵ 0 = Q ϵ 0 A onde este A é a área das placas. A carga é dada pela seguinte equação:

Q = E → ϵ 0 A

São placas circulares, logo temos a área de uma circunferência. A = π r 2

para encontrar ϵ 0 , basta lembrarmos do valor de k

k   =   9 × 1 0 9 N m 2 / C 2 = 1 4   π ϵ 0 → ϵ 0 = 1 ( 4   π ) ( 9 × 1 0 9 ) = 8.85 × 1 0 - 12 C 2 / N m 2

Q = E → ϵ 0 A = ( 3000 V / m ) ( 8.85 × 1 0 - 12 C 2 / N m 2 ) ( 3.14 * 0.05 m )

Q = 2.1 × 1 0 - 10 C

Passo 2

Após os eletrodos serem afastados para uma distância de 1.0cm, mas ainda permanecem conectados a bateria, as variáveis ainda permanecem as mesmas. Nosso campo elétrico é de

E → = Δ V C d = 15 V 1 × 1 0 - 2 = 1500 V / m = 1.5 × 1 0 3 V / m = 1.5 k V / m

A carga é dada por:

Q = E → ϵ 0 A = ( 1500 V / m ) ( 8.85 × 1 0 - 12 C 2 / N m 2 ) ( 3.14 * ( 0.05 ) 2 m )

Q = 1.04 × 1 0 - 10 C

Passo 3

Agora a condição seguinte é para os eletrodos expandidos até ficarem com diâmetro de 20cm ainda conectados à bateria. A área agora tem duas vezes o tamanho do diâmetro. A = π r 2 = π ( 2 r ) 2 , então nosso campo uniforme passa a ter a seguinte configuração, mas a carga nos capacitores ainda permanece a mesma. E → = E → '

E → = Δ V C d = 15 V 0.5 × 1 0 - 2 m = 3000 V / m ,   o u   3 k V / m

Q ' = E ' → ϵ 0 A ' = 4 E → A ϵ 0 = 4 Q = 8.3 × 1 0 - 12 C

Resposta

(a) E → = Δ V C d = 15 V 0.5 × 1 0 - 2 m = 3000 V / m ,   o u   3 k V / m

Q = E → ϵ 0 A

Q = E → ϵ 0 A = ( 3000 V / m ) ( 8.85 × 1 0 - 12 C 2 / N m 2 ) ( 3.14 * ( 0.05 ) 2 m )

Q = 1.04 × 1 0 - 10 C

(b) E → = Δ V C d = 15 V 1 × 1 0 - 2 = 1500 V / m = 1.5 × 1 0 3 V / m = 1.5 k V / m

Q = E → ϵ 0 A = ( 1500 V / m ) ( 8.85 × 1 0 - 12 C 2 / N m 2 ) ( 3.14 * ( 0.05 ) 2 m )

Q = 1.04 × 1 0 - 10 C

(c) E → = Δ V C d = 15 V 0.5 × 1 0 - 2 m = 3000 V / m ,   o u   3 k V / m

Q ' = E ' → ϵ 0 A ' = 4 E → A ϵ 0 = 4 Q = 8.3 × 1 0 - 12 C

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