Enunciado

Duas cascas condutoras concêntricas têm raios R 1 = 0,500 m e R 2 = 1,00 m , cargas uniformes q 1 = + 2,00 μ C e q 2 = + 1,00 μ C e espessura insignificante. Determine o módulo do campo elétrico E a uma distância do centro de curvatura das cascas (a) r = 4,00 ; (b) r = 0,700 m ; (c) r = 0,200 m . Com V= O no infinito, determine V para (d) r = 4,00 m ; (e) r = 1,00 m ; (f) r = 0,700 m ; (g) r = 0,500 m ; (h) r = 0,200 m ; (i) r = O . (J) Plote E(r) e V(r).

Passo 1

Temos duas cascas condutoras, uma dentro da outra, com raios R 1 = 0,500 m e R 2 = 1,00 m e cargas uniformes q 1 = + 2,00 μ C e q 2 = + 1,00 μ C .

Primeiramente vamos achar uma função que descrever o campo elétrico. Como as cascas tem simetria esférica essa equação é:

E r = 1 4 π ε 0 q e n v r 2

Onde a qenv é a carga envolvida pelo raio r. Assim, para o item (a):

E 4,00 = 1 4 π 8,85 × 10 - 12 2,00 × 10 - 6 + 1,00 × 10 - 6 4,00 2 = 1,69 × 10 3 V / m

Passo 2

Para o item (b), lembrando que a casca envolvida agora é só a casca menor:

E 0,700 = 1 4 π 8,85 × 10 - 12 2,00 × 10 - 6 0,700 2 = 3,67 × 10 4 V / m

Passo 3

Agora, no item (c), não há mais nenhuma carga envolvida logo:

E 0,200 = 0

Passo 4

Agora, no item (d), temos que encontrar o potencial, temos que a formula para o potencial gerado por uma carga condutora fora da casca é:

V r = q e n v 4 π ε 0 r

Assim:

V 4,00 = 2,00 × 10 - 6 4 π 8,85 × 10 - 12 4,00 + 1,00 × 10 - 6 4 π 8,85 × 10 - 12 4,00 = 6,74 × 10 3 V

Passo 5

No item (e), como o raio da esfera 2 é igual a distância, podemos utilizar a mesma equação do item (d):

V r = q e n v 4 π ε 0 r

V 1,00 = 2,00 × 10 - 6 + 1 × 10 - 6 4 π 8,85 × 10 - 12 1,00 = 27,0 × 10 3 V

Passo 6

Agora, no item (f), como queremos calcular o potencial dentro de uma das esferas condutoras devemos lembrar que o potencial dentro de uma esfera condutora é constante. Dessa forma:

V r = 1 4 π ε 0 q 1 r + q 2 R 2

Aqui tem um detalhe a carga q 1 está fora da casca dela portanto o seu potencial não é constante, mas q 2 tem potencial constante.

V 0,700 = 1 4 π 8,85 × 10 - 12 2,00 × 10 - 6 0,700 + 1,00 × 10 - 6 1,00 = 34 , 7 × 10 3 V

Passo 7

No item (g), seguimos o raciocino do item (f):

V 0,500 = 1 4 π 8,85 × 10 - 12 2,00 × 10 - 6 0,500 + 1,00 × 10 - 6 1,00 = 4,5 × 10 4 V

Passo 8

No caso dos itens (h) e (i), devemos lembrar de novo que o potencial dentro de uma casca esférica conduta é constante, assim:

V r = 1 4 π ε 0 q 1 R 1 + q 2 R 2

V 0,200 = V 0 = 1 4 π 8,85 × 10 - 12 2,00 × 10 - 6 0,500 + 1,00 × 10 - 6 1,00 = 4,5 × 10 4 V

Passo 9

Pro gráfico vamos começar fazendo para o campo elétrico, aqui basta entendermos que:

Se:

r < 0,5 m

Não há cargas na envoltória

0,5 < r < 1

Há apenas a carga q 1 , portanto temos uma função pro campo:

r > 1 m

Temos a carga q 1 e a carga q 2 na envoltória e há uma descontinuidade na função nesse ponto em forma de aumento.

Se liga:

O outro gráfico também depende da distância r , porém de uma maneira mais sutil lembrando que dentro das duas cascas o valor é totalmente constante, entre elas a queda é sutil e depois se torna mais acentuada.

O gráfico de V ( r ) tem essa carinha aqui:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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