Enunciado

Duas ondas senoidais com a mesma amplitude de 9,00   m m e o mesmo comprimento de onda se propagam em uma corda esticada ao longo de um eixo x . A onda resultante é mostrada duas vezes na figura, antes e depois que o vale A se desloque de uma distância d = 56,0   c m em 8,0   m s . A distância entre as marcas do eixo horizontal é 10   c m ; H = 8,0   m m . A equação de uma das ondas é da forma y x , t = y m sen ⁡ ( k x ± ω t + φ ) , onde φ 1 = 0 e cabe ao leitor determinar o sinal que precede ω . Na equação da outra onda, determine (a) y m , (b) k , (c) ω , (d) φ 2 e (e) o sinal que precede ω .

Passo 1

Fala galerinha bonita, tudo beleza?

Essa é uma das questões clássicas da parte de ondas: temos que completar a nossa equação mais importante:

y x , t = y m sen ⁡ ( k x ± ω t + φ )

E na letra (a) queremos encontrar a amplitude y m , que já nos foi dada pelo enunciado como:

y m = 9,00   mm

Passo 2

(b) O número de onda k segue a fórmula:

k = 2 π λ

Olhando o gráfico, qual é o comprimento de onda?

Bom, a onda leva quatro “traços” do eixo x pra completar uma subida e uma descida, então:

λ = 0,40   m

k = 2 π λ

k = 2 π 0,4

k = 16   rad/m

Passo 3

(c) E a frequência angular ω tem várias formas de calcular ela, mas uma que está mais ao nosso alcance seria:

ω = k v

Uma vez que nós já calculamos o k e temos tudo pra calcular o v .

O enunciado disse que a onda se desloca 56   cm em 8   ms , então:

v = Δ x Δ t

v = 56 × 10 - 2 8,0 × 10 - 3

v = 70   m/s  

Sendo assim, ω será:

ω = 16 70

ω = 1,1 × 10 3   rad/s

Passo 4

(d) O gráfico do enunciado mostra a onda que resulta da soma de outras duas.

O objetivo agora é saber qual era a constante de fase da segunda onda, dado que o da primeira era zero.

Bom, sabemos que a fórmula pra amplitude da onda que vem da soma de outras duas é:

Y m = 2 y m cos ⁡ φ 2 2

Como a amplitude vai ser metade daquela altura H , obtemos que:

4,0 × 10 - 3 = 2 9,00 × 10 - 3 cos ⁡ φ 2 2

Logo:

cos ⁡ φ 2 2 = 4 18

Então isolando a constante de fase:

φ 2 2 = arc cos ⁡ 4 18

φ 2 2 = 1,34   rad

φ 2 = 2,69   rad

Pronto!

Passo 5

(e) O sinal que precede o ω segue aquele relação importante que você precisa saber:

O n d a   s e   p r o p a g a n d o   n o   s e n t i d o   p o s i t i v o ↔ S i n a l   n e g a t i v o   n o   ω

O n d a   s e   p r o p a g a n d o   n o   s e n t i d o   n e g a t i v o ↔ S i n a l   p o s i t i v o   n o   ω

No nosso caso, a onda se propaga no sentido negativo, então o sinal do ω é positivo.

Resposta

(a) y m = 9,00   mm

(b) k = 16   rad/m

(c) ω = 1,1 × 10 3   rad/s

(d) φ 2 = 2,69   rad

(e) Positivo.

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