Enunciado

O efeito Doppler é usado rotineiramente para medir a velocidade dos ventos em sistemas de tempestades. Como gerente de uma estação de monitoramento meteorológico no Centro-Oeste, você está usando um sistema de radar Doppler que tem uma frequência de 625 MHz para emitir um pulso de radar das gotas de chuva em um sistema de tempestade a 50 km de distância. Você mede o pulso do radar refletido para aumentar a frequência em 325 Hz. Supondo que o vento esteja indo diretamente em sua direção, qual a velocidade dos ventos no sistema de tempestades? Dica: O sistema de radar pode medir apenas o componente da velocidade do vento ao longo de sua linha de visão

Passo 1

Como o vento se move na direção da estação de monitoramento, a frequência das gotas de chuva será maior do que a emitida pela fonte, usando subíndices r para o receptor e e para o emissor, nossa equação do efeito Doppler para a frequência do receptor fica:

f r = c ± u r c ± u e f e

Onde os u são as velocidades do emissor e do receptor.

Como as gotas se aproximam da estação, o sinal do numerador será positivo. E como o radar está parado u e = 0 , a equação fica:

f r = c + u r c f e

Passo 2

Depois que a onda que foi emitida pelo radar, ela é refletida nas gotas de chuva, podemos então considerar as gotas como uma nova fonte de ondas e chamamos a frequência recebida pela estação de f r ' e escrevemos a equação do efeito Doppler em relação à frequência f r ;

f r ' = c ± u r c ± u e f r

Agora u r é a velocidade da estação e u e a velocidade das gotas de chuva.

Como dessa vez a fonte que se aproxima do receptor, o sinal será negativo no denominador. E como a velocidade da estação é zero, u r = 0 , ficamos com:

f r ' = c c - u e

Passo 3

Substituindo a equação do passo 1 no passo 2:

f r ' = c c - u e c + u r c f e

Simplificando:

f r ' = c + u r c - u e f e

E pela forma como determinamos em cada caso as velocidades, sabemos que as duas são iguais, pois uma é a velocidade das gotas como receptora das ondas e a outra é a mesma velocidade mas agora como fonte, então u r = u e , e a equação fica:

f r ' = c + u r c - u r f e

Colocando c em evidencia e cortando:

f r ' = 1 + u r c 1 - u r c f e

Passo 4

E agora vamos fazer algumas simplificações para chegarmos na resposta:

1 + u r c - 1 ≈ 1 - u r c ,   p o i s   u r ≪ c

A nossa equação fica:

f r ' = 1 - u r c 1 - u r c f e

f r ' = 1 - u r c 2 f e

E:

1 - u r c 2 ≈ 1 - 2 u r c

O fator quadrático eleva c ao quadrado, o que faz a razão entre u r e c ser menor ainda, e podemos dizer que ela tende para zero e então descartamos ela, e a equação se escreve:

f r ' = 1 - 2 u r c f e

E como o enunciado nos dá a diferença entre as frequências emitida e recebida pela estação, podemos escrever a diferença como:

∆ f = f e - f r '

Substituindo f r ' :

∆ f = f e - 1 - 2 u r c f e

∆ f = 2 u r c f e

Isolando u r :

u r = c 2 f e ∆ f

Substituindo os valores de cada grandeza:

u r = 2.998   ×   10 8 m / s 2 625 M H z 325 H z

u r = 77.95 m / s

Resposta

u r = 77.95 m / s

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