Enunciado

Na figura, um som de comprimento de onda 0,850   m é emitido isotropicamente por uma fonte pontual S . O raio de som 1 se propaga diretamente para o detector D , situado a uma distância L = 10,0   m . O raio de som 2 chega a D após ser refletido em uma superfície plana. Essa reflexão ocorre sobre a mediatriz do segmento de reta S D , a uma distância d do raio 1 , Suponha que a reflexão desloca a fase da onda sonora de 0,500   λ . Qual é o menor valor de d (diferente de zero) para o qual o som direto e o som refletido chegam a D (a) em oposição de fase e (b) em fase?

Passo 1

Vamos começar encontrando uma expressão geral para a diferença no caminho percorrido pelo cada um dos raios.

Δ d = d 2 - d 1 + 0,500   λ

Podemos calcular a distância d 2 usando o teorema de Pitágoras:

d 2 = 2 L 2 2 + d 2 = L 2 + 2 d 2

E a distância d 1 pode ser encontrada diretamente a partir do desenho:

d 1 = L 2 + L 2 = L

E o último termo da fórmula do Δ d é referente à defasagem gerada pela reflexão. Então ficamos com:

Δ d = L 2 + 2 d 2 - L + 0,5   λ

Passo 2

(a) No caso em que as duas ondas chegam até D em oposição de fase, a diferença de caminho entre elas deve ser algum múltiplo inteiro de meio comprimento de onda:

Δ d = L 2 + 2 d 2 - L + 0,5   λ

Queremos que Δ d = λ 2 , 3 λ 2 , 5 λ 2 ,   … . Como estamos interessados no menor valor para d , vamos começar considerando Δ d = 0,5   λ , então:

0,5 λ = L 2 + 2 d 2 - L + 0,5   λ

L = L 2 + 2 d 2

4 d 2 = 0

d = 0

Mas o enunciado exigiu que d seja diferente de zero, então vamos procurar o próximo valor, ou seja, d = 1,5   λ .

1,5 λ = L 2 + 2 d 2 - L + 0,5   λ

λ = L 2 + 2 d 2 - L

Vamos substituir L = 10   m e λ = 0,850   m :

10,850 = 10 2 + 2 d 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

10,850 2 - 10 2 = 4 d 2

d ≅ 2,10   m

Passo 3

(b) Agora vamos fazer a mesma coisa, mas procurando casos em que a diferença de caminho é um múltiplo inteiro de um comprimento de onda.

Δ d = L 2 + 2 d 2 - L + 0,5   λ

Queremos que Δ d = λ ,     2 λ ,   3 λ ,   … E mais uma vez vamos começar com o menor valor, Δ d = λ .

λ = L 2 + 2 d 2 - L + 0,5   λ

0,5 λ + L = L 2 + 2 d 2

Vamos substituir L = 10   m e λ = 0,850   m :

0,5 0,850 + 10 = 10 2 + 2 d 2

10,425 = 10 2 + 2 d 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

10,425 2 - 10 2 = 4 d 2

d = 1,47   m

Resposta

(a) Para que as ondas cheguem em oposição de fase, o menor para d é 2,10   m .

(b) Para que as ondas cheguem em fase, o menor valor para d é 1,47   m .

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