Enunciado

31. A energia potencial de um corpo de 4,0   K g   restrita ao eixo x é dada por U = 3 x 2 - x 3   para x ≤ 3,0   m     e U = 0   para x ≥ 3,0   m ,   onde U está em joules e x está em metros, e a única força que atua sobre esse corpo é a força associada a essa função de energia potencial.

(a) Em que posições esse corpo está em equilíbrio?

(b) Esboce um gráfico de U versus x .

(c) Discuta a estabilidade do equilíbrio para os valores de x encontrados na parte (a).

(d) Se a energia mecânica total da partícula é 12 J, qual é a sua velocidade em x = 2,0   m ?

Passo 1

(a) Sabendo que a força associada, F x , é definida como o negativo da derivada da função de energia potencial em relação a x , ou seja, F x = - d U / d x , para determinar a força associada basta então realizar o cálculo, que nada mais é do que a derivada de um polinômio de terceiro grau:

F x = - d U d x

F x = - d ( 3 x 2 - x 3 ) d x

F x = - d 3 x 2 d x + d ( x 3 ) d x

F x = - 6 x + 3 x 2

F x = 3 x x - 2 N

Iguala-se então, a força obtida a zero, para encontrar os pontos de equilíbrio:

F x = 3 x x - 2 = 0

3 x = 0

x = 0

x - 2 = 0

x = 2

Obtemos então as posições de equilíbrio! Mas espera um pouco! Esse cálculo foi feito para quando x ≤ 3,0 m . Mas e quando ocorre o contrário?

Bem! A questão diz que U = 0   para x ≥ 3,0 m . Logo nossa partícula estará em equilíbrio para todo x nessa condição maior ou igual a 3,0   m .

Passo 2

(b) Com as posições de equilíbrio obtidas, que não são mais do que pontos onde a primeira deriva é nula, constrói-se o gráfico. Vamos pegar antes, um intervalo satisfatório que atenda as condições onde x ≤ 3,0 m .

Que tal   - 1 ≤ x ≤ 3,0 m ?

Essa é uma boa pedida!

Vamos lá construir nosso gráfico, que vai ter a seguinte cara:

Passo 3

(c)

Para decidir se o equilíbrio em um ponto particular é estável ou instável, é necessário avaliar a segunda derivada da função energia potencial no ponto de interesse, no caso os pontos em que F x   é igual a zero. Se o valor da segunda derivada resultar em um valor negativo, o equílibrio será instável, porém se o valor da segunda derivada for positivo, o equilíbrio será estável.

A questão é o seguinte! Precisa efetuar mesmo o cálculo da segunda derivada?

Olha nosso amiguinho aí da letra (b)! Por ele já podemos tirar nossas conclusões.

Em x = 0 , o gráfico tem a concavidade voltada para cima. Logo, de acordo com o Cálculo 1, x = 0 é um ponto de mínimo, onde o valor da segunda derivada é negativo, e portanto, o equilíbrio é instável.

Já em x = 2 , o gráfico tem a concavidade voltada para baixo. Logo, x = 2 é um ponto de máximo, onde o valor da segunda derivada é positivo, e portanto, o equilíbrio é estável

Passo 4

(d)

Como a energia mecânica se conserva, podemos dizer que ela é a soma das energias cinética ( K ) e potencial ( U ) . De maneira que:

U + K = 12

Substituindo a posição dada ( x = 2,0   m ) na fórmula da energia potencia U   em termos de x , conseguimos que:

U = 3 x 2 - x 3

U = 3 ( 2,0 ) 2 - ( 2,0 ) 3

U = 4,0   J

E

U + K = 12,0

K = 12,0 - 4,0   J

K = 8,0   J

Então, igualamos K à fórmula da energia cinética e obtemos a velocidade v :

1 2 m v ² = 8,0   J

1 2 ( 4,0   K g ) v ² = 8,0   J

v 2 = 4,0

v = 2,0   m / s

Resposta

a) x = 0   e x = 2,0   m

b) Resolução gráfica

c) Em x = 0 , o equilíbrio é instável. Já em x = 2,0   m , o equilíbrio é estável.

d)   v = 2,0   m / s  

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