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Sua firma está projetando uma nova montanha-russa. Para a concessão do alvará de funcionamento, é exigido o cálculo de forças e de acelerações em vários pontos importantes do percurso. Cada carrinho terá uma massa total (incluindo a dos passageiros) de 500   k g e viajará livremente sobre o trilho sinuoso sem atrito mostrado na figura. Os pontos A , E e G estão em trechos retos horizontais, todos à mesma altura de 10   m acima do solo. O ponto C está a uma altura de 10   m acima do solo em um trecho inclinado de 30 ° . O ponto B está na crista de uma elevação, enquanto o ponto D está no nível do solo, no fundo de um vale. O raio de curvatura nestes dois pontos é de 20   m . O ponto F está no meio de uma curva horizontal de perfil inclinado, com um raio de curvatura de 30   m , e à mesma altura dos pontos A , E e G . No ponto A , a rapidez do carrinho é 12   m / s . (a) Se o carrinho tem justo as mínimas condições para vencer a barreira no ponto B , qual deve ser a altura do ponto B em relação ao solo? (b) Se o carrinho tem justo as mínimas condições para vencer a barreira no ponto B , qual deve ser a magnitude da força exercida pelo trilho sobre o carrinho nesse ponto? (c) Qual será a aceleração do carrinho no ponto C ? (d) Quais serão a magnitude e a orientação da força exercida pelo trilho sobre o carrinho no ponto D ? (e) Quais serão a magnitude e a orientação da força exercida pelo trilho sobre o carrinho, no ponto F ? (f) Em G , uma força constante de frenagem é aplicada ao carrinho devendo fazer com que ele páre após 25   m . Qual é a magnitude que deve ter essa força?

Passo 1

(a) O que significa dizer que, no ponto A , o carrinho tem apenas as mínimas condições para vencer a barreira em B ?

Quer dizer que a energia dele é apenas o suficiente para subir a altura de B , mas nada além disso, não deve sobrar nenhuma energia cinética no topo dessa subida. Vamos aplicar a conservação de energia entre esses dois pontos

E A = E B

m g h A + 1 2 m v A 2 = m g h B

E queremos usar isso para calcular a altura do ponto B , então:

h B = g h A + 1 2 v A 2 g

Agora vamos substituir os valores numéricos:

h B = 9,81 10 + 0,5 12 2 ( 9,81 ) ≅ 17   m

Passo 2

(b) Se o carrinho tem apenas as condições mínimas para vencer a barreira, isso significa que ele chega ao ponto B com v = 0 .

Nesse caso, a única força que o trilho exerce sobre o carrinho é a força normal. Como o ponto B está na crista da elevação, ele está em um trecho horizontal, e então:

N = P

N = m g = 500 9,81 = 4905   N

E então a força que o trilho exerce sobre o carrinho é:

F ≅ 4,91   k N

Passo 3

(c) A aceleração do carrinho no ponto C será paralela ao plano inclinado naquele trecho. Vamos aplicar a segunda lei de Newton nessa direção:

∑ F x = m a x

P x = m a x

m g sen ⁡ θ = m a x

a x = g sen ⁡ θ

E substituindo os valores numéricos:

a x = 9,81 sen ⁡ 30 ° ≅ 4,9   m / s 2

Passo 4

(d) No ponto D , as forças que o trilho exerce sobre o carrinho são todas verticais. Primeiro vamos calcular a rapidez com que o carrinho passa por esse ponto.

No ponto B , tínhamos rapidez nula e uma altura h = 17,3   m em relação ao solo. Segundo o enunciado, o ponto D está na altura do solo, então U D = 0 . Aplicando a conservação de energia entre esses dois pontos ficamos com o seguinte resultado:

E B = E D

m g h B = 1 2 m v D 2

v D 2 = 2 m g h B

E como a força resultante sobre o carrinho em D precisa cumprir o papel de força centrípeta, temos que:

∑ F y = N - P = m v D 2 R

Então a força N que o trilho exerce sobre o carrinho na direção vertical para cima é:

N = m g + m v D 2 R

N = m g 1 + 2 h B R

E substituindo os valores numéricos:

N = 500 9,81 1 + 2 17,3 20

N = 13   k N

Passo 5

(e) Vamos começar calculando a rapidez do carrinho em F , que está a uma altura de 10 m em relação ao solo.

Podemos aplicar a conservação de energia entre B e F para encontrar v F :

E B = E F

m g h b = 1 2 m v F 2 + m g h F

v F 2 = 2 g h B - h F

E agora podemos calcular a força centrípeta que o trilho precisa exercer sobre o carrinho em F , na direção horizontal para a esquerda, para mantê-lo na trajetória circular mostrada na figura:

F c = m v F 2 R = 2 m g h B - h F R

Substituindo os valores numéricos:

F C = 2 m g h B - h F R = 2 500 9,81 17,3 - 10,0 30 = 2,39   k N

Além disso, o trilho também exerce uma força normal sobre o carrinho em F . Como esse ponto está sobre um trecho horizontal, essa força normal é:

N = P = m g = 500 9,81 = 4,91   k N

E aponta na vertical para cima. Portanto temos uma força vertical de magnitude 4,91   k N e uma horizontal de magnitude 2,39   k N , então a resultante é:

F = 4,91 2 + 2,39 2

F ≅ 5,5   k N

E para definir a orientação dessa força, vamos encontrar o ângulo θ que ela forma com a horizontal:

tan ⁡ θ = F y F x

θ = arctan ⁡ 4,91 2,39 = 64 °

Passo 6

(f) A rapidez do carrinho em G é necessariamente a mesma que tínhamos em F , então:

v G 2 = 2 g h B - h F

Para que a força de frenagem pare o carro em 25   m , o trabalho realizado por esa força ao longo dessa distância deve ser igual à energia cinética que o carrinho tem ao cruzar o ponto G :

W F = K G

F d = 1 2 m v G 2

F = 1 2 d m 2 g h B - h F

E substituindo os valores numéricos:

F = 1 2 25 500 2 9,81 17,3 - 10

F = 1,4   k N

Resposta

(a) h B = 17   m .

(b) F = 4,91   k N .

(c) a ≅ 4,9   m / s 2 .

(d) N = 13   k N .

(e) F = 5,5   k N , formando um ângulo de 64 ° com a horizontal.

(f) A força deve ter uma magnitude F = 1,4   k N .

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