Enunciado

Uma escada, de massa desprezível e comprimento L , está apoiada contra uma parede lisa, formando um ângulo θ com o piso horizontal. O coeficiente de atrito entre a escada e o piso é μ . Um homem sobe a escada. Até que altura h ele pode chegar antes de a escada escorregar?

Passo 1

Oi, gente! Ele quer saber até que altura uma pessoa pode subir numa escada que está inclinada e apoiada na parede. Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre dessa situação, usando os dados que ele deu.

Pra começo de conversa, pensa aqui comigo. Se uma escada tem massa desprezível e está em repouso, parada sob uma superfície, o diagrama de forças da escada sem ninguém em cima é:

Opa, sem forças? Bem, se não tem peso (já que o enunciado disse que a massa da escada é desprezível), não tem como ter normal, logo nenhuma força vertical. Se está em repouso, não há nenhuma força na horizontal também. Então aí a gente só representou o comprimento da escada e o ângulo que ela faz com a horizontal θ .

Agora, se um homem sobe na escada, o sistema (homem+escada) ganha massa. Considerando:

  • M Massa do homem
  • g Aceleração da Gravidade
  • P = M g Peso do homem
  • h Altura em que o homem está em relação ao solo

Teremos:

Só que, se tem peso e a escada não está afundando no chão ou na parede, tem que ter força normal! A reação da parede é horizontal, da direita pra esquerda, e a do chão é vertical, de baixo pra cima.

Por fim, como o sistema está em repouso, não queremos que a escada escorregue. Se ela escorregar, a ponta que tá no chão vai se mover da direita pra esquerda. Quem impede esse movimento? Exatamente a força de atrito! O diagrama de forças final será:

Perceba que não há força de atrito na parede porque o enunciado diz que a parede é lisa, então ela não oferece atrito.

A ideia aqui é perceber que a escada está paradinha, então podemos usar as equações de equilíbrio nas forças que representamos no diagrama

∑ F x = 0

∑ F y = 0

∑ τ → = 0

E vamos usa-las para achar o valor de h em função dos dados que ele deu. Vamos!

Passo 2

Vamos começar pelo equilíbrio de forças na horizontal e na vertical.

Considerando que forças positivas estão viradas para cima, o somatório de forças na vertical fica

∑ F y = 0

- P + F n = 0

- m g + F n = 0

F n = M g

Agora olhando para as forças horizontais, considerando as forças positivas para a direita, temos que

∑ F x = 0

f m á x - F = 0

F = f m á x

Quem é f m á x ? Cara, como a gente quer a altura limite para a escada começar a escorregar, a gente está na situação de iminência do deslizamento. Nessa situação a força de atrito é máxima e vai valer

f m a x = μ F n

Como já temos F n :

f m a x = μ M g

E pelo somatório de forças em x :

F = f m a x = μ M g

Já temos expressões para todas as nossas forças. Vamos partir para achar h .

Passo 3

Para isso vamos usar mais uma equação de equilíbrio: a de torques! Afinal, a escada não está girando. Portanto o somatório de torques será nulo.

Vamos calcular o somatório de torques em relação ao ponto onde a escada encosta no piso, que chamaremos de ponto P . E a gente vai considerar que se a força tende a girar a escada no sentido anti-horário, o torque gerado por ela é positivo, caso contrário, negativo.

O torque vai ser dado pelo produto entre a força e d , onde d é uma distância entre a linha de ação da força e o ponto onde queremos o torque. Sendo que d e a força precisam ser perpendiculares.

Para começar, note o seguinte: d para as forças f m a x e F n é nulo por que elas estão sendo aplicadas no eixo de rotação! Por esse motivo, elas não contribuem para o torque!

Vamos marcar o d de cada força restante no nosso diagrama de corpo livre

Percebe que d p é a distância perpendicular entre a linha de aplicação de P e o eixo de rotação que passa pelo ponto P . E essa força tende a girar a escada no sentido horário, então o torque fica negativo e é

τ p = - P d p

Para achar d p usamos o triângulo que pode ser encontrado na figura

Temos um triângulo retângulo, então podemos escrever

t g   θ = h d p → d p = h t g   θ

Aí o torque fica

τ p = - P h t g   θ

Agora para a força F , a distância entre sua linha de ação e P é d F   e ela tende a girar nossa escada no sentido anti-horário, então temos

τ F = F d F

E para achar d F , usamos o triângulo

Usando trigonometria

s e n   θ = d F L → d F = L   s e n   θ

O torque fica

τ F = F L s e n   θ

Passo 4

Show, agora vamos montar a equação de equilíbrio

∑ τ = 0

- P h t g   θ + F L s e n   θ = 0

Queremos h né? Vamos isolar esse cara:

h = F L   s e n   θ t g   θ P

Lembra que a gente tinha achado as expressões de F e de P ?

P = M g

F = f m a x = μ M g

Vamos substituir essas belezinhas

h = μ M g L   s e n   θ t g   θ M g

h = μ L   s e n θ   t g θ

E pronto! Tá na mão! Para que haja equilíbrio (somatório de torques e de forças nula), o valor máximo de h deve ser:

h = L ∙ μ ∙ tan ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ

Resposta

h = L ∙ μ ∙ tan ⁡ θ ∙ sen ⁡ θ

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