Enunciado

Uma esfera metálica de raio R 1 possui uma carga Q 1 . Considere o potencial igual a zero a uma distância infinita da esfera. (a) Quais são os valores do potencial elétrico e do campo elétrico na superfície da esfera? A esfera é, a seguir, conectada por um fio metálico fino e longo, a outra esfera, de raio R 2 , que está a muitos metros de distância da primeira esfera. Antes de ela ser conectada, a segunda esfera esfera estava descarregada. Depois que o equilíbrio eletrostático for atingido, qual será (b) a carga total de cada esfera? (c) O potencial elétrico sobre a superfície de cada esfera? (d) O campo elétrico sobre a superfície de cada esfera? Suponha que a carga do fio seja muito menor do que a carga de cada esfera.

Passo 1

letra a)

O campo elétrico de uma esfera é dada por:

E = 1 4 π ϵ o Q r 2

E o seu potencial:

V = 1 4 π ϵ o Q r

Então, na superfície da esfera precisamos fazer r = R . O campo será:

E 1 = 1 4 π ϵ o Q 1 R 1 2

E o potencial:

V 1 = 1 4 π ϵ o Q 1 R 1

Passo 2

letra b)

Quando atingirem o equilíbrio eletrostático, duas coisas acontecerão:

( i )   Q 1 = q 1 + q 2 porque há conservação das cargas

( i i )   V 1 = V 2 porque todos os pontos estão no mesmo potencial

Usaremos a segunda relação:

V 1 = V 2

1 4 π ϵ o q 1 R 1 = 1 4 π ϵ o q 2 R 2

q 1 R 1 = q 2 R 2

Substituindo a relação entre as cargas:

q 1 R 1 = Q 1 - q 1 R 2

q 1 1 R 1 + 1 R 2 = Q 1 R 2

q 1 = Q 1 R 2 1 R 1 + 1 R 2

q 1 = R 1 R 1 + R 2 Q 1

E q 2 será:

q 2 = Q 1 - q 1

q 2 = R 2 R 1 + R 2 Q 1

Passo 3

letra c)

Agora para acharmos os potenciais, podemos substituir as cargas que encontramos no item anterior na expressão do potencial:

Para V 1 :

V 1 = 1 4 π ϵ o q 1 R 1

Substituindo q 1 :

V 1 = 1 4 π ϵ o 1 R 1 R 1 R 1 + R 2 Q 1

V 1 = 1 4 π ϵ o Q 1 R 1 + R 2

Passo 4

Para V 2 :

V 2 = 1 4 π ϵ o q 2 R 2

Substituindo q 2 :

V 2 = 1 4 π ϵ o 1 R 2 R 2 R 1 + R 2 Q 1

V 2 = 1 4 π ϵ o Q 2 R 1 + R 2

Passo 5

letra d)

Agora para acharmos o campo elétrico, substituindo as cargas que encontramos:

Para E 1 :

E 1 = 1 4 π ϵ o q 1 R 1 2

E 1 = 1 4 π ϵ o 1 R 1 2 R 1 R 1 + R 2 Q 1

E 1 = 1 4 π ϵ o Q 1 R 1 1 R 1 + R 2

Para E 2 :

E 2 = 1 4 π ϵ o q 2 R 2 2

E 2 = 1 4 π ϵ o 1 R 2 2 R 2 R 1 + R 2 Q 1

E 2 = 1 4 π ϵ o Q 1 R 2 1 R 1 + R 2

Resposta

letra a) E 1 = 1 4 π ϵ o Q 1 R 1 2 , V 1 = 1 4 π ϵ o Q 1 R 1

letra b) q 1 = R 1 R 1 + R 2 Q 1 , q 2 = R 2 R 1 + R 2 Q 1

letra c) V 1 = 1 4 π ϵ o Q 1 R 1 + R 2 , V 2 = 1 4 π ϵ o Q 2 R 1 + R 2

letra d) E 1 = 1 4 π ϵ o Q 1 R 1 1 R 1 + R 2 , E 2 = 1 4 π ϵ o Q 1 R 2 1 R 1 + R 2

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