Enunciado

No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio (Cap.2, Probl.3), calcule:

  1. A razão da energia potencial eletrostática do elétron a sua energia cinética;
  2. A energia necessária para ionizar o átomo, em elétron-volts.

Passo 1

Se ligou que ele quer a razão entre a energia potencial do elétron e a energia cinética no átomo de hidrogênio de Bohr?

Primeiramente podemos lembrar que no átomo de hidrogênio de Bohr, temos um núcleo pontual localizado no centro do átomo e este contém toda a parte positiva. E o elétron fica se movimenta em uma órbita circular ao redor do núcleo. Tipo na figura abaixo.

Passo 2

Será que dá para usar o Teorema do Virial. Para uma energia do tipo

U = c   r n   ⇒   E c = n 2   U

Como a energia potencial eletrostática no nosso caso de partículas pontuais, temos

U e = k q 1 q 2 r = k q 1 q 2 r - 1

Opa, ele tem é do mesmo tipo do potencial usado no teorema do virial, onde

n = - 1

No nosso caso podemos escrever a energia para o nosso sistema

U e = - k e 2 r - 1

Logo

E c = - 1 2 - k e 2 r - 1

Se o elétron descreve uma trajetória circular, então ele tem velocidade constante. Logo, a energia cinética é constante. Isso implica que a energia será sempre igual ao valor médio.

Agora só precisamos fazer a razão

U E c =   - k e 2 r k e 2 2 r = - 2

Passo 3

No item (b) nós precisamos ionizar o átomo, ou seja, queremos tirar o elétron do raio de ação do núcleo. Isto acontece quando a energia potencial é zero.

Vamos precisar usar a conservação da energia.

No item anterior vimos que na configuração onde o elétron está em órbita a energia era

E i = U e + E c = U - U 2 = U 2

Como estou pensando na partícula parada fora da ação do próton, temos que a energia cinética nesse ponto também será zero.

Portanto o trabalho que devo realizar para remover essa partícula é

W = U 2 = k e 2 2 d

Substituindo os valores

d = 0,5 × 10 - 6 m

1   e V = 1,6 × 10 - 19 J

e = 1,6 × 10 - 19 C

k ≈ 9 × 10 9 N m 2 C - 2

Temos

W = 2,3 × 10 - 18 J = 14,4 e V

Resposta

a )     U E c =   - k e 2 r k e 2 2 r = 2

b )       W = 14,4 e V

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