Enunciado

Uma esfera não-condutora tem uma densidade volumétrica de carga ρ . Seja r o vetor que vai do centro da esfera até um ponto genérico P dentro da esfera. (a) Mostre que o campo elétrico em P é dado por E = ρ r / 3 ϵ 0 . (Note que o resultado é independente do raio da esfera). (b) Uma cavidade esférica é aberta na esfera como nos mostra a Fig. 25-42. Usando conceitos de superposição mostre que o campo elétrico em todos os pontos dentro da cavidade é E = ρ a / 3 ϵ 0   (campo uniforme), onde a é o vetor posição apontando do centro da esfera para o centro da cavidade. (Note que o resultado é independente dos raios da esfera e da cavidade).

Passo 1

Fala galera, bora lá!

(a) Os conceitos usados ​​para resolver a questão são a lei de Gauss em eletrostática e densidade de carga volumétrica.

Use a lei de Gauss para determinar a magnitude do campo elétrico dentro da esfera e do campo elétrico dentro da cavidade. Matematicamente, a lei de Gauss é definida como,

∮ E   d A = Q f e c h a d o ϵ 0

Aqui, E é a intensidade do campo elétrico, d A é a área, Q f e c h a d o é a carga envolvida pela superfície e ϵ 0 é a permissividade do vácuo. O campo elétrico da grande esfera com a densidade de carga ρ é calculado usando a lei de Gauss.

Q = ρ V

O volume da esfera é,

V = 4 π 3 r 3

Substitua V na equação da carga.

Q = ρ 4 π 3 r 3

Substituindo Q

∮ E   d A = ρ 4 π 3 r 3 ϵ 0

Integrando a equação acima para determinar o campo elétrico no ponto P .

E = ρ 4 π 3 r 3 ϵ 0 r

E = ρ 3 ϵ 0

Passo 2

(b) A esfera menor tem uma densidade de carga negativa e o campo elétrico dentro da cavidade será a soma do campo devido a toda a esfera e o campo devido à esfera menor. O campo elétrico devido à cavidade é,

E 1 = - ρ 3 ϵ 0 r + ρ 3 ϵ 0 a

E 1 = - ρ 3 ϵ 0 r - a

Aqui, a é o vetor de posição do centro da esfera ao centro da cavidade. O campo elétrico líquido dentro da cavidade será a soma do campo elétrico devido à esfera e o campo devido à cavidade. O campo elétrico líquido dentro da cavidade é,

E T = E + E 1

Substitua ρ 3 ϵ 0 r por E e - ρ 3 ϵ 0 r - a por E 1 .

E T = ρ 3 ϵ 0 r   + - ρ 3 ϵ 0 r - a

E T = ρ 3 ϵ 0 a

Resposta

  1. o campo elétrico em P é E = ρ 3 ϵ 0
  2. O campo elétrico dentro da cavidade é   E T = ρ 3 ϵ 0 a

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