Enunciado

O mistério do chocolate em pó. Explosões provocadas por descargas elétricas (centelhas) constituem um sério perigo nas indústrias que lidam com pós muito finos. Uma dessas explosões aconteceu em uma fábrica de biscoitos na década de 1970 . Os operários

costumavam esvaziar os sacos de chocolate em pó que chegavam à fábrica em uma bandeja, da qual o material era transportado através de canos de plástico até o silo onde era armazenado. No meio desse percurso, duas condições para que uma explosão ocorresse

foram satisfeitas: (1) o módulo do campo elétrico ultrapassou 3,0 ×   10 6   N / C , produzindo uma ruptura dielétrica do ar; (2) a energia da centelha resultante ultrapassou   150   m J , fazendo com que o pó explodisse. Vamos discutir a primeira condição.

Suponha que um pó carregado negativamente esteja passando por um cano cilíndrico de plástico de raio   R   =   5,0   c m e que as cargas associadas ao pó estejam distribuídas uniformemente com uma densidade volumétrica ρ . (a) Usando a lei de Gauss, escreva uma expressão para o módulo do campo elétrico Ê no interior do cano em função da distância r do eixo do cano. (b) O valor de E aumenta ou diminui quando r aumenta? (c) O campo E aponta para o eixo do cilindro ou para longe do eixo? (d) Para ρ   =   1,1 ×   10 - 3 C m 3   (um valor típico), determine o valor máximo de E e a que distância do eixo do cano esse campo máximo ocorre. (e) O campo pode produzir uma centelha? Onde? (Esta história continua no Problema 70 do Capítulo 24.)

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui iremos utilizar a lei de Gauss para analisar um pouco a situação do campo elétrico que nos apresenta.

A Lei de Gauss nos dá a seguinte relação:

E ⋅ A = q i n t e r n a ϵ 0

Passo 2

  1. Por se tratar de um cilindro com área de 2 π r L . A carga fechada representa a densidade de carga, então temos:

E ∙ 2 π r L = ρ ∙ V g ∈ 0

O volume delimitado por uma superfície gaussiana é dado por:

V g = L π r 2

E ⋅ 2 π r L = ρ L π r 2 ϵ 0

Então:

E = ρ r 2 ϵ 0

Passo 3

  1. Da expressão que a gente achou no passo 2, podemos ver que, quanto maior for o raio do cilindro, maior vai ser o campo.
  2. Pela regra da mão direita (aquela que vemos a direção do campo), vemos que o campo aponta para dentro do cilindro, porque o pó está carregado negativamente.
  3. Note que o campo é máximo quando a expressão ρ r 2 ϵ 0 adquire seu maior valor possível, com r m a x = R que é igual a
  4. E = ρ ∙ r 2 ∈ 0

    E = ( 1.1 ∙ 10 - 3 ) ( 0.05 ) 2 ( 8.85 ∙ 10 - 12 )

    E = 3,1 07 × 10 6 N / C

  5. Aqui, basta a gente comparar o campo encontrado na letra (d) com o indicado no enunciado ( 3,0 ×   10 6   N / C ). Como esse valor encontrado em (d) é maior, então podemos concluir que houve formação de centelha.

Resposta

(d)   3,1 × 10 6 N / C

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