Enunciado

Uma casca fina esférica metálica de raio a tem uma carga q a . Concêntrica com ela está uma outra casca fina, esférica, metálica de raio b (onde b > a ) e carga q b . Determine o campo elétrico em pontos radiais r onde (a) r < a . (b) a < r < b e (c) r > b . (d) Discuta o critério que poderia ser usado para determinar a forma como as cargas estão distribuídas pelas superfícies interna e externa das cascas.

Passo 1

Fala galera, bora lá!

(a) Com base na lei de Gauss para superfície S, se r < a obtemos diretamente que o campo elétrico é

E = 0

uma vez que essa superfície gaussiana não encerra nenhuma carga.

(b) Para a < r < b , sabemos que, para uma esfera, a magnitude do campo é dado por

E = ∑ q 4 π ϵ 0 r 2

onde q é magnitude da carga sobre a esfera e r é a distância a partir do centro da esfera ao ponto onde o campo é medido. Como q = q a , assim

E = q a 4 π ϵ 0 r 2

Passo 2

(c) Para r > b , seguindo o mesmo cálculo anterior, temos

E = ∑ q 4 π ϵ 0 r 2

Sendo q = q a + q b assim

E = q a + q b 4 π ϵ 0 r 2

Passo 3

(d) Como E = 0 para r < a , a carga na superfície interna da casca interna é sempre zero. A carga na superfície externa da casca interna é, portanto, q a . Como E = 0 dentro do invólucro externo metálico, a carga líquida encerrada em uma superfície gaussiana que fica entre as superfícies interna e externa do invólucro externo é zero. Assim, a superfície interna da casca externa deve carregar uma carga – q a , deixando a carga na superfície externa da casca externa como sendo q a + q b .

Resposta

  1. E = 0
  2. E = q a 4 π ϵ 0 r 2
  3. E = q a + q b 4 π ϵ 0 r 2

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