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Uma esfera não condutora tem raio R = 2,31   c m   e uma carga uniformemente distribuída q = + 3,50   f C . Tome o potencial elétrico no centro da esfera como V 0 = 0 . Determine o valor de V para uma distância radial (a) r = 1,45 cm; (b) r = R. (Sugestão: veja a Seção 23-9.)

Passo 1

Vamos fazer os dois itens de uma vez. Lembra daquela formulazinha:

V - V 0 = - ∫ a b E → ∙ d s → = - ∫ a b E ( r ) d r

Lembra da Lei de Gauss? Aquilo de ficar traçando umas superfícies e dizer que o fluxo só depende de quanta carga existe dentro da superfície que a gente traçou? Então. Ela diz que o campo dentro da esfera (pra perceber isso, trace esferas gaussianas dentro da esfera original e use a Lei de Gauss) é:

E r = q r 4 π ϵ 0 R 3

Passo 2

Joque isso na integral:

V - V 0 = - ∫ 0 r q r 4 π ϵ 0 R 3 d r = - q 4 π ϵ 0 R 3 ∫ 0 r r d r

V - 0 = - q 4 π ϵ 0 R 3 r 2 2

V r = - q r 2 8 π ϵ 0 R 3 = - K q r 2 2 R 3

Passo 3

Substitua os valores. Para a letra (a), faça r = 0,0145   m

V 0,0145 = - 8,99.10 9 N m 2 C 2 3,50.10 - 15   C 0,0145   m 2 2 0,0231   m 3 = - 0,268   m V

Para a letra (b), faça r = R . Aí fica:

V R = - K q R 2 2 R 3 = - K q 2 R

V R = - 8,99.10 9 N m 2 C 2 3,50.10 - 15   C 2 0,0231   m = - 0,681   m V

Resposta

Letra (a): V = - 0,268   m V

Letra (b): V = - 0,681   m V

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