Enunciado

Uma espira retangular de lados 2 a e 2 b está no mesmo plano que um par de fios paralelos muito longos que transportam uma corrente I em sentidos opostos (um é retorno do outro). O centro da espira está equidistante dos fios, cuja separação é 2 d (fig.). Calcule a indutância mútua entre espira e par de fios.

Passo 1

Se liga! Vamos, inicialmente, resolver para o fio à esquerda da espira!

Lembra que a indutância é

L = ϕ I

Primeiro precisamos lembrar que o campo do fluxo magnético é dado por

ϕ = ∫ B →     .   d   S →

e que o campo do relacionado a um fio é

B = μ 0 I 2 π r   .

Podemos definir a área infinitesimal como

d S = 2 b   d r

Temos que a espira está localizada no intervalo de

d - a ≤ r ≤ d + a .

Passo 2

Agora precisamos calcular o fluxo

ϕ = μ 0 I 2 π ∫ d - a d + a 2   b d r r = μ 0 I b π ∫ d - a d + a d r r

= μ 0 I b π l n d + a d - a

Passo 3

Pela simetria do problema e usando a regra da mão direita podemos dizer que o fluxo do campo na espira devido ao fio do lado direito é igual ao do lado esquerdo. Sendo assim, podemos apenas dizer que o fluxo é 2 vezes o fluxo que achamos.

ϕ = 2 μ 0 I b π l n d + a d - a

Passo 4

Retornando para a expressão da indutância, temos

L = 2 μ 0 b π   d + a d - a

Resposta

L = 2 μ 0 b π   d + a d - a

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