Enunciado

Existem 2N elétrons (com massa m) que podem se mover ao longo do eixo O x . A energia potencial de cada elétron é dada por U x = 1 2 k ' x 2 , onde k ' é uma constante positiva. As interações elétricas e magnéticas entre os elétrons podem ser desprezadas. Use o princípio da exclusão para mostrar que a energia mínima desse sistema de sN elétrons é dada por ℏ N 2 k ' / m . (Sugestão: veja a Seção 40.4 e a sugestão dada no problema 41.59).

Passo 1

A energia potencial U x = 1 2 k ' x 2 é de um oscilador harmônico simples. Na mecânica quântica cada estado tem uma energia que é dada por:

E n = ℏ ω n + 1 2

Como os elétrons obedecem ao princípio da exclusão, isso nos permite colocar dois elétrons, um para cada valos de m s = ± 1 / 2 para cada valor de n . Então cada estado quântico é definido pelo par ordenado de números quânticos n , m s .

Passo 2

Colocando dois elétrons em cada nível de energia, a energia mais baixa será:

2 ∑ n = 0 N - 1 E n = 2 ∑ n = 0 N - 1 ℏ ω n + 1 2 = 2 ℏ ω ∑ n = 0 N - 1 n + ∑ n = 0 N - 1 1 2

2 ∑ n = 0 N - 1 E n = 2 ℏ ω N - 1 N 2 + N 2 = ℏ ω N 2 - N + N

2 ∑ n = 0 N - 1 E n = ℏ ω N 2 = ℏ N 2 k ' / m

Passo 3

Aqui usamos a dica do Problema 41.59 para fazer a primeira soma, percebendo que o primeiro valor de n é zero e o último valor de n é N - 1, fornecendo um total de N níveis de energia preenchidos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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