Enunciado

Em um experimento para medir a distância entre a superfície da Terra e a superfície da Lua, a radiação pulsada de um laser de rubi ( λ = 0,69   μ m ) foi apontada para a Lua através de um telescópio refletor cujo espelho tinha um raio de 1,3   m . Um refletor deixado por astronautas na Lua se comportou como um espelho plano circular com 10   c m de raio, refletindo a luz diretamente de volta para o telescópio. A luz refletida foi detectada depois de ser focalizada pelo telescópio. Aproximadamente que fração da energia luminosa original foi recebida pelo detecetor? Suponha que toda a energia dos feixes de ida e de volta esteja concentrada no pico central de difração.

Passo 1

Quando a luz emitida pelo laser na Tera chega até a lua, o se feixe vai ocupar uma certa região circular, certo? Vamos começar calculando o diâmetro dessa região:

θ R = 1,22 λ d 0

Onde d 0 é o diâmetro do espelho do telescópio, e θ R é o ângulo representado nesse desenho:

Podemos relacionar o raio r 1 , ou o diâmetro d 1 , com o ângulo θ R :

d 1 = 2 L θ R = 2 1,22 λ L d 0  

Beleza, esse é o raio da região total ocupada pelo feixe que chega a lua.

Passo 2

Se o espelho deixado na lua tem raio r 2 , qual fração da área total do feixe que chega é ocupada pelo espelho?

η 1 = π r 2 2 π r 1 2 = r 2 r 1 2 = d 2 d 1 2

Então essa é a fração da energia que o espelho aproveita.

Em seguida, a luz é refletida pelo espelho de diâmetro d 2 , o que significa que vai chegar na Terra como um feixe que tem diâmetro d 3 :

d 3 = 2 1,22 λ L d 2

Onde usamos a exata mesma fórmula do passo anterior.

Dessa vez, o feixe de diâmetro d 3 vai ser capturado por um telescópio de raio d 0 , então a fração da energia aproveitada é:

η 2 = d 0 d 3 2

Passo 3

Beleza, então temos que considerar as “perdas” de energia em dois passos: η 1 e η 2 .

Por isso, a fração da energia que é recebida de volta após todo o processo é:

η = η 1 η 2

η = d 2 d 1 2 d 0 d 3 2

Agora é só substituir todas as expressões que nós calculamos:

η = d 2 d 0 2 1,22 λ L d 0 2 1,22 λ L d 2

η = d 2 2 d 0 2 2 2 1,22 2 λ L 2

Agora elevamos tudo ao quadrado:

η = d 2 d 0 2,44 λ L 4

Então, sabendo que a distância da Terra até a Lua é de 3,82.10 8   m , vamos substituir os valores:

η = 2 1,3 2 0,10 2,44 0,69.10 - 6 3,82.10 8 4 = 4,3   .   10 - 13

Resposta

A fração da energia luminosa original que foi recebida pelo detector é aproximadamente 4,3   .   10 - 13 .

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