Enunciado

A Fig. 10-45 mostra um corpo rígido formado por um aro fino (de massa m e raio R   =   0,150   m ) e uma barra fina radial (de massa m e comprimento L   =   2,00   R ). O conjunto está na vertical, mas se recebe um pequeno empurrão, começa a girar em tomo de um eixo horizontal no plano do aro e da barra, que passa pela extremidade inferior da barra. Supondo que a energia fornecida ao sistema pelo pequeno empurrão é desprezível, qual é a velocidade angular do conjunto ao passar pela posição invertida (de cabeça para baixo)?

Passo 1

Pessoal, antes de tudo , vamos escrever o I a r o C M     e     I b a r r a C M :

Temos que L=2R e :

I a r o C M   = m R ² 2 e I b a r r a C M = m L ² 12

Agora vamos escrever a equação do momento de inércia:

I r =   I a r o   + I B a r r a

Para fazer este cálculo vamos aplicar o teorema dos eixos paralelos. Primeiro no aro para descobrir   I a r o   :

  I a r o   = I a r o C M   + m d ²

Se observarmos a figura, a distância entre o eixo (a base da haste) até o centro de massa do arco (centro do aro) e de d = L + R e podemos substituir esse valor no teorema:

  I a r o   = I a r o C M   + m d ²

  I a r o   = I a r o C M   + m ( R + L ) ²

  I a r o   = m R ² 2 + m ( R + L ) ²

Como L=2R

  I a r o   = m R ² 2 + m ( 3 R ) ²

  I a r o   = m R ² 2 + 9 m R ²

  I a r o   = 9,5 m R ²

Agora aplicamos o teorema dos eixos paralelos para a barra:

  I b a r r a   = I b a r r a C M   + m d ²

Se observarmos a figura o valor da distância do eixo (base da barra) até seu centro de massa (metade da barra) é d = L 2 e podemos substituir esse valor no teorema:

  I b a r r a   = I b a r r a C M   + m d ²

  I b a r r a   = I b a r r a C M   + m ( L 2 ) ²

  I b a r r a   = m L ² 12 + m ( L 2 ) ²

  I b a r r a   = m L ² 12 + m L ² 4

  I b a r r a   = m L ² 3

Como L=2R

  I b a r r a   = m ( 2 R ) ² 3

  I b a r r a   = 4 m R ² 3

Agora Temos tudo que precisamos para calcular o momento de inércia:

I r =   I a r o   + I B a r r a

I r = 9,5 m R ² + 4 m R ² 3

I r = 10,83 m R ²

Passo 2

Vamos agora calcular o centro de massa do conjunto pois usaremos ele na conservação de energia mais adiante.

Primeiro vamos calcular a altura do centro de massa

Para calcular a altura do centro de massa ( y C M ) vamos usar a seguinte fórmula:

y C M = y a r o * m b a r r a + y b a r r a . * m a r o m a r o + m b a r r a

y C M =   ( R + L ) m + ( L 2 ) m 2 m

y C M = ( R + 2 R ) m + ( 2 R 2 ) m 2 m

y C M = 3 R + R 2

y C M = 2 R

Passo 3

Agora temos tudo que precisamos para aplicar a lei de conservação de energia. Vamos observar no desenho a altura do centro de massa no início ( h C M i ) quando o aro estava em pé e em repouso e a altura do centro de massa no fim ( h C M i ), com o aro para baixo e tendo uma certa velocidade angular ( ω f ) que queremos encontrar:

Sabemos que:

E i =   E f

K i +   U g C M i = K f + U g C M f  

Se considerarmos que o nosso eixo de referência está na altura h c m f , temos que caso K i e U g C M f são nulos, então:

E i =   E f

  U g C M i = K f

m g h C M i = I r ω f 2 2

( 2 m ) g ( 4 R ) = 10,83 m R ² ω f 2 2

ω f 2 = 2 * 4 * 2 g 10,83 R

ω f = 16 * 9,8 10,83 * 0,15

ω f = 9,82   r a d / s

Resposta

ω f = 9,82   r a d / s

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