Enunciado

Na Fig. 21-28, as partículas 1 e 2 são mantidas fixas no eixo x , separadas por uma distância L = 8,00   c m . As cargas das partículas são q 1 = + e e q 2 = -   27 e . A partícula 3 , de carga q 3 = + 4 e , colocada no eixo x , entre as partículas 1 e 2 , é submetida a uma força eletrostática total F 3 , t o t (a) Em que posição deve ser colocada a partícula 3 para que o módulo de F 3 , t o t , seja mínimo? (b) Qual é o valor do módulo de F 3 , t o t nessa situação?

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😉

Nesse problema temos um sistema com duas partículas fixas no eixo x a uma distancia de L = 8 c m uma da outra onde q 1 = + e e q 2 = -   27 e . É adicionada uma terceira partícula de carga q 3 = + 4 e , colocada no eixo x , entre as partículas 1 e 2 , é submetida a uma força eletrostática total F 3 , t o t . E a partir daí nosso objetivo é calcular a posição que a terceira partícula deve ficar para que o módulo de F 3 , t o t , seja mínimo.

Parece dificil? 🤔

Vamos começar encontrando a posição dessas cargas para que o módulo da força elétrica seja mínimo, e como encontrar numa função um ponto de mínimo?

Fazendo derivada e igualando a derivada a zero! Após isso substituíremos essa posição na equação e encontraremos a força, beleza?

Veja só! 😬

Passo 2

Vamos aqui organizar então como a equação é e como ela vai ficar em função de x :

F = K q 1 q 3 d 1 2 + K q 2 q 3 d 2 2

F = K q 1 q 3 x 2 + K q 2 q 3 L - x 2

Onde x é a distância variável que queremos encontrar que para o módulo da força total seja mínimo, e por isso aplicaremos derivadas aqui mas antes vamos jogar para fora as constantes:

F = K q 1 q 3 x 2 + K q 2 q 3 L - x 2

F = K 4 e e x 2 + 27 e L - x 2  

Repara que para a carga q 3 , a força estará sempre apontando para a direita, pois com a carga q 1 que também é positiva terá uma força de repulsão e com a carga q 2 que é negativa, terá uma força de atração.

Colocando em evidência temos:

F = e ² K × 4 [ 1 x 2 + 27 L - x 2 ]

Agora é focar em derivar a parte de dentro, pois a de fora é constante.

Um macete legal é você botar os números em cima e trocar o sinal do expoente:

[ x - 2 + 27 L - x - 2 ]

Derivando isso aí em termos de x , teremos:

[ - 2 x - 3 + 27 × - 1 × - 2 L - x - 3 ]

Se liga, que na derivada foi preciso aplicar a regra da cadeia quando derivamos o termo L - x , por isso apareceu aquele - 1 na expressão acima.

Arrumando as coisas:

- 2 x - 3 + 54 L - x - 3

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora podemos voltar pra expressão com as constantes e igualar a derivada a zero.

d F d x = 0 = e 2 K × 4 - 2 x 3 + 54 L - x 3

Ok, chegamos aqui numa situação que não é a das mais fáceis, podemos dividir os dois lados pelas constantes e chegar na expressão:

0 = - 2 x 3 + 54 L - x 3

Vamos separar os lados e multiplicar cruzado e teremos:

2 x 3 = 54 L - x 3

2 L - x 3 = 54 x 3

L - x 3 = 27 x 3

Agora é só tirar a raiz cubica dessa galera:

L - x = 3 x

x = L 4

x = 8 4 = 2,00   c m

Legal, né? 😉

Passo 4

Substituindo x = L 4 = 2,00 c m na expressão da força encontrada anteriormente, a gente tem:

F = K e 2 4 1 x 2 + 27 L - x 2  

F = 8,99 × 10 9 × 1,6 × 10 - 19 2 × 4 1 0,02 2 + 27 0,08 - 0,02 2

Resultando em

F m i n = 9,21 × 10 - 24 N

E aí! entendeu tudo? Resoponde Aí! 😎

Resposta

a) x = 2 c m

b) F m i n = 9,21 × 10 - 24 N

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