Enunciado

A Fig. 31-31 mostra um circuito R L C , alimentado por um gerador, que possui dois capacitores iguais e duas chaves. A amplitude da força eletromotriz é 12,0   V e a frequência do gerador é 60   H z . Com as duas chaves abertas, a corrente está adiantada 30,9 ° em relação à tensão. Com a chave S 1 fechada e a chave S 2 aberta, a corrente está adiantada 15,0 ° em relação à tensão. Com as duas chaves fechadas, a amplitude da corrente é 447   m A . Determine o valor (a) de R ; (b) de C ; (c) de L .

Passo 1

A questão fornece um circuito R L C com duas chaves que podem ser abertas ou fechadas. Devemos encontrar a resistência, a capacitância e a indutância do circuito. Vamos analisar primeiro o que acontece com as duas chaves fechadas.

Se fecharmos as duas chaves, o resistor e o segundo capacitor estarão em curto e podem ser descartados. Assim, a impedância do circuito será dada por

Z = χ L - χ C

Por outro lado,

ε = Z I ⇒ χ L - χ C = ε I = 12   V 0,447

Portanto

χ L - χ C = 26,85   Ω

Detalhe: aqui, apenas um capacitor está no circuito, de modo que

χ C = 1 ω C

Passo 2

Agora vamos fechar a chave 1 e manter a chave 2 aberta. Nesse caso, ϕ = 15 ° . Sabemos que

tan ⁡ ϕ = χ L - χ C R

Portanto,

R = χ L - χ C tan ⁡ ϕ = 26,85   Ω tan ⁡ 15 °

Logo,

R = 100   Ω

Passo 3

Agora vamos deixar as duas chaves abertas. Neste caso, ϕ ' = - 30,9 ° . Note que agora, os dois capacitores estão no circuito e eles estão em série, de modo que a capacitância equivalente será

C e q = C 2

Portanto, neste caso

χ C ' = 2 χ C

Assim, como temos a fase:

tan ⁡ ϕ ' = χ L ' - χ C ' R

Como χ L ' = χ L e χ C ' = 2 χ C , segue que

tan ⁡ ϕ ' = χ L - 2 χ C R

Assim,

χ L - 2 χ C = 100   Ω ⋅ tan ⁡ - 30,9 ° = - 59,96   Ω

Passo 4

Temos que resolver o sistema:

χ L - χ C = 26,85   Ω χ L - 2 χ C = - 59,96   Ω

Resolvendo o sistema, obtemos

χ C = 86,81   Ω           e             χ L = 113,66   Ω

A frequência angular será dada por

ω = 2 π f ⇒ ω = 376,8   r a d / s

Passo 5

Agora só falta usar as reatâncias e a frequência angular para achar C e L :

χ C = 1 ω C ⇒ C = 1 ω χ C ⇒ C = 3,06 ⋅ 10 - 5   F

χ L = ω L ⇒ L = χ L ω ⇒ L = 3,01 ⋅ 10 - 1   H

Resposta

R = 100   Ω

C = 3,06 ⋅ 10 - 5   F

L = 3,01 ⋅ 10 - 1   H

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