Enunciado

55- O espaço sideral contém muitas partículas que constituem a chamada poeira cósmica. A pressão oriunda da radiação emitida pelo Sol estabelece um limite inferior para o diâmetro dessas partículas. Para verificar a origem desse limite, considere uma partícula esférica de poeira R e massa específica ρ .

( a ) Escreva uma expressão para a força gravitacional exercida pelo Sol sobre a partícula quando ela está a uma distância r do Sol (que possui massa M ).

( b ) Seja L a luminosidade do Sol, ou seja, a taxa com a qual ele emite ondas eletromagnéticas. Calcule a força exercida sobre a partícula (totalmente absorvedora) oriunda da pressão da radiação solar. A grandeza relevante para esse cálculo é a área da seção reta da partícula, e não a área de sua superfície. Como parte da resposta, diga por que você deve considerar essa área.

( c ) A massa específica de uma partícula típica de poeira cósmica é da ordem de 3000   k g / m 3 . Calcule qual deve ser o raio R da partícula para que a força gravitacional exercida pelo Sol seja igual ao valor da força oriunda da pressão da radiação. A luminosidade do Sol é de 3.9 × 10 26   W . Sua resposta depende da distância r entre a partícula e o Sol? Por quê?

( d ) Explique por que existe uma probabilidade muito pequena de que uma partícula com raio menor do que aquele que você encontrou no item ( c ) possa existir no espaço interplanetário do sistema solar. (Sugestão: obtenha a razão entre a expressão encontrada no item ( a ) e a encontrada no item ( b ) .)

Passo 1

Questão grande tem que ir por partes mesmo, então para a letra a temos que a força gravitacional entre a poeira e o sol pode ser calculada por:

F g = G M m r 2

Onde m é a massa da partícula, que por ter massa específica ρ e ser uma esfera se raio R terá um valor de:

ρ = m 4 3 π R 3 → m = 4 3 π ρ R 3

Então a força gravitacional nessa poeira cósmica será de:

F g = 4 G M π ρ R 3 3 r 2

Passo 2

Já na letra b pode não ter ficado claro, mas luminosidade é a potência do sol (na letra c ele dá o valor inclusive) então se considerarmos ainda r como a distância entre o Sol e a partícula nós temos que a pressão nessa superfície absorvedora será de:

p = I c = L 4 π r 2 c

Agora para a força vem um pequeno exercício de imaginação, pois como F = p A então teríamos a força da luminosidade igual a:

p = L A 4 π r 2 c

Mas qual seria essa área?

E nós devemos considerar a área transversal igual a π R 2 e não metade da área superficial por que a superfície absorvedora pois essa é a área que está completamente perpendicular com a onda eletromagnética. Então:

A = π R 2

Logo a força nessa partícula será de:

F r a d = L R 2 4 r 2 c

Passo 3

Igualando as duas forças e colocando os valores dados no enunciado mais os dados presentes no Apêndice F que nos diz que:

M = 1.99 × 10 30   k g

G = 6.67 × 10 - 11

Então:

4 G M π ρ R 3 3 r 2 = L R 2 4 r 2 c

O que já nos corta r 2 (ou seja, o valor da distância de r para o Sol não interessa).

4 × 6.67 × 10 - 11 × 1.99 × 10 30 × π × 3000 R 3 = 3.9 × 10 26 4 × 3 × 10 8

Então R será:

R = 1.95 × 10 - 7   m

Passo 4

Dividindo uma expressão pela outra na letra d nós iremos obter:

F g F r a d = 4 G M π ρ R 3 3 r 2 L R 2 4 r 2 c = 16 c G M π ρ R 3 L

E a condição de equilíbrio para essas duas forças é tal que somente existirá um valor de R , pois se R é menor que o calculado então F r a d > F g e a poeira é jogada para fora do sistema solar.

Resposta

a )   F g = 4 G M π ρ R 3 3 r 2

b )   F = L R 2 4 r 2 c

c )   R = 1.95 × 10 - 7   m

d )   a   p a r t í c u l a   e s t a r i a   f o r a   d o   s i s t e m a   s o l a r .

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