Enunciado

A Fig. 35-45a mostra uma lente com raio de curvatura R pousada em uma placa de vidro e iluminada por cima por uma luz de comprimento de onda λ . A Fig. 35-45b (uma fotografia tirada de um ponto acima da lente) revela a existência de franjas de interferência circulares (os chamados anéis de Newton) associadas à espessura variável d do filme de ar que existe entre a lente e a placa. Determine os raios r dos anéis que correspondem aos máximos de interferência, supondo r / R ≪ 1 .

Passo 1

A questão pede para encontrarmos os raios dos anéis claros, que correspondem aos máximo de interferência! Para isso, temos que considerar a camada de ar entre a lente e a placa como um filme fino de espessura variável.

Quando a reflexão ocorre do vidro para o ar não há mudança de fase, mas do ar para o vidro sim. Desta forma, temos que adicionar π na defasagem:

ϕ = 2 π λ ⋅ ( d i f e r e n ç a   d e   c a m i n h o ) + π

A diferença de caminho será 2 d onde d é a espessura do filme de ar:

ϕ = π ⋅ 4 d λ + 1

Passo 2

Agora vem a parte que temos que usar geometria:

Aplicando o teorema de Pitágoras:

R 2 = R - d 2 + r 2

Assim,

R - d = R 2 - r 2 ⇒ d = R - R 2 - r 2

Aqui vamos usar a aproximação dada que r ≪ R :

R 2 - r 2 = R 1 - r R 2 = R   1 - r R 2 1 / 2

Para x ≪ 1 , vale 1 + x n ≈ 1 + n x . Assim,

1 - r R 2 1 / 2 ≈ 1 - 1 2 r R 2 = 1 - r 2 2 R 2

Portanto,

d ≈ R - R 1 - r 2 2 R 2 = r 2 2 R

Logo,

ϕ = π ⋅ 4 λ ⋅ r 2 2 R + 1 = π ⋅ 2 r 2 λ R + 1

Passo 3

Como queremos os pontos de interferência construtiva (franjas claras):

ϕ = m ⋅ 2 π

Assim,

2 m = 2 r 2 λ R + 1

Portanto,

2 r 2 λ R = 2 m - 1 ⇒ r = 2 m - 1 λ R 2 ,         m = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   …

Se quiséssemos achar as franjas escuras:

ϕ = 2 m + 1 π ⇒ r = m λ R ,             m = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   …

Resposta

r = 2 m - 1 λ R 2

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