Enunciado

Um filme fino de um líquido é mantido em um disco horizontal, com ar dos dois lados do filme. Um feixe de luz com um comprimento de onda de 550   n m incide perpendicularmente ao filme e a intensidade I da reflexão é medida. A Fig. 35-46 mostra a intensidade I em função do tempo t ; a escala do eixo horizontal é t s = 20,0   s . A intensidade muda por causa da evaporação nas duas superfícies do filme. Suponha que o filme é plano, que as duas superfícies do filme são paralelas e que o filme tem um raio de 1,80   c m e um índice de refração de 1,40 . Suponha também que o volume do filme diminui a uma taxa constante. Determine essa taxa.

Passo 1

O enunciado fala sobre um filme fino de espessura variável (devido à evaporação). Foi dado o gráfico de intensidade em função do tempo e queremos a taxa da variação do volume do filme.

O volume do filme é o volume de um cilindro de raio r e espessura x :

V = π r 2 x

Assim,

d V d t = π r 2 d x d t

Desta forma, para achar a taxa de variação do volume, precisamos da taxa de variação da espessura do filme!

Passo 2

Note que na reflexão do ar para o filme, há inversão de fase, porém na reflexão do filme para o ar não. Assim, devemos adicionar π na defasagem:

ϕ = 2 π λ n ⋅ d i f e r e n ç a   d e   c a m i n h o + π

A diferença de caminho será o dobro da espessura: 2 x . Além disso, como λ n = λ / n :

ϕ = π ⋅ 4 n x λ + 1

Vamos estudar os pontos em que a interferência é destrutiva (intensidade nula):

ϕ = 2 m + 1 π

Assim,

2 m + 1 = 4 n x λ + 1

Portanto,

x = m λ 2 n

Passo 3

Do gráfico vemos que o tempo entre dois mínimos consecutivos ( m e m + 1 ) é

Δ t = 20,0 3   s

A variação de espessura correspondente é

Δ x = λ 2 n = 550 ⋅ 10 - 9   m 2 ⋅ 1,40 = 196,4 ⋅ 10 - 9   m

Portanto,

d x d t = 196,4 ⋅ 10 - 9   m 20,0 3   s = 29,46 ⋅ 10 - 9   m / s

Assim,

d V d t = 3,14 ⋅ 1,80 ⋅ 10 - 2   m 2 ⋅ 29,46 ⋅ 10 - 9   m / s

Logo,

d V d t = 1,67 ⋅ 10 - 11   m 3 / s

Resposta

1,67 ⋅ 10 - 11   m 3 / s

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