Enunciado

Na Fig. 22-46, uma barra não condutora de comprimento L = 8,15   c m tem uma carga - q = - 4,23   f C uniformemente distribuída. (a) Qual é a densidade linear de cargas da barra? Determine (b) o módulo e (c) a direção (em relação ao semieixo x positivo) do campo elétrico produzido no ponto P , situado no eixo x , a uma distância a = 12,0   c m da extremidade da barra. Determine o módulo do campo elétrico produzido em um ponto situado no eixo x , a uma distância a = 50   m do centro da barra, (d) pela barra e (e) por uma partícula de carga - q = - 4,23   f C colocada no lugar anteriormente ocupado pelo centro da barra.

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos uma barra de comprimento L = 8,15   c m e carga - q = - 4,23   f C uniforme. A partir daí queremos saber qual é a densidade linear de cargas da barra, o módulo e a direção (em relação ao semieixo x positivo) do campo elétrico produzido no ponto P , situado no eixo x , a uma distância a = 12,0   c m da extremidade da barra.

Além disso queremos também determinar o módulo do campo elétrico produzido em um ponto situado no eixo x , a uma distância a = 50   m do centro da barra, pela barra e por uma partícula de carga - q = - 4,23   f C colocada no lugar anteriormente ocupado pelo centro da barra

Muita coisa, não é? 👀

Vamos analisar cada caso separadamente...

Passo 2

Item (a)

Como a carga está uniformemente distribuída na barra, a densidade linear nada mais é do que a divisão da carga q pelo tamanho total da barra L :

λ = q L

Substituindo os valores q = -   4,23   f C e L = 8,15 c m :

λ = - 4,23   .   10 - 15   C 0,0815   m

λ =   - 5,19   .   10 - 14   C / m

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Item (b)

Vamos posicionar o eixo x na extremidade esquerda da barra e o sentido crescente para a direita conforme a figura abaixo:

Chamaremos de d x     um segmento infinitesimal da barra como mostra a figura acima, então como a carga é uniformemente distribuída, podemos relacionar a densidade linear de carga com esse segmento fazendo:

λ = d q d l

E como a distância d l está no deixo x , podemos escrever:

λ = d q d x

E assim, ficamos com...

d q = λ d x

Sendo que d q   pode ser considerada uma carga pontual. O campo elétrico gerado por uma carga pontual é igual a:

d E = k   . d q d 2

Onde: k é uma constante ( k = 1 / ( 4 π ϵ 0 ) ) , q é a carga da partícula que gera o campo elétrico e d é a distância entre o ponto onde desejamos calcular o campo elétrico e a carga que o gera.

Como o ponto P encontra-se no eixo da barra, o vetor campo elétrico tem apenas componente x , que pode ser dada como, para cada ponto da barra:

d E x = 1 4 π ϵ 0 λ d x L + a - x 2 .

Ou seja, cada pedacinho d x da barra gera uma componente d E x ! Show, mas observe que a distância entre esse pedaço e o ponto P é dado pela diferença:

d = ( L + a ) - x

Está acompanhando? 😁

Passo 4

Entendeu tudo? Então para calcular o campo em toda a barra, devemos integrar em x:

E x = ∫ 0 L d E x = ∫ 0 L 1 4 π ϵ 0 λ d x L + a - x 2  

Vamos passar tudo que não depende de x para fora da integral:

E x = λ 4 π ϵ 0   ∫ 0 L d x L + a - x 2  

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples:

u = L + a - x

d u = - d x

d x = - d u

Fazendo a substituição...

E x = - λ 4 π ϵ 0 ∫ d u u 2

Resolvendo...

E x = - λ 4 π ϵ 0 - 1 u = λ 4 π ϵ 0 1 L + a - x L 0

Aplicando os limites de integração...

E x = λ 4 π ϵ 0 1 a - 1 L + a

E x =   λ 4 π ϵ 0 L a L + a

Substituindo a   =   12,0   c m   , L   =   8,15   c m , λ =   - 5,19   .   10 - 14   C / m e a permissividade do vácuo ϵ 0 = 8,85   .   10 - 12 F / m .

E x =   - 5,19   .   10 - 14 4 π ( 8,85   .   10 - 12 ) 8,15     .   10 - 2 12   .   10 - 2 8,15     .   10 - 2 + 12   .   10 - 2

Vamos fazer as multiplicações:

E x =   - 5,19   .   10 - 14 111,21 .   10 - 12 8,15     .   10 - 2 241,8   .   10 - 4

Fazendo as novas multiplicações:

E x =   - 42,3   .   10 - 16 26890,58 .   10 - 16

Por fim nos resta:

E x =   - 1,57   x   10 - 3   N / C

E como vimos, o campo elétrico vai ser dado apenas por essa componente horizontal:

E → = E x i ^

O que indica que o módulo do campo elétrico é E = | E x | =   1,57   m N / C   .

Estamos quase lá! 😎

Passo 5

Item (c)

Como nossa carga é negativa, as linhas de campo elétrico sempre irão apontar para ela, logo o sinal negativo no E → x indica que o campo elétrico aponta no sentido negativo do eixo x , isto é, - 180 ° do semieixo x positivo, ou seja, aponta para a barra!

Bora continuar! 😐

Passo 6

Item (d)

Como a distância entre o ponto onde desejamos calcular o campo é muito mais distante do que o tamanho da barra:

a = 50 m ≫ L = 8.15   .   10 - 2 m

Podemos usar a aproximação:

L + a ≈ a

Assim a barra se comporta como uma carga pontual, como podemos ver no desenho, a distância é tão grande, que o tamanho da barra já não interfere

Ou seja, o campo se torna o campo de uma partícula pontual:

E =   1 4 π ϵ 0 q d 2

Onde vamos substituir a distância d por apenas d = a :

E x =   q 4 π ϵ 0 a 2

Vamos então substituir os valores que são dados: a = 50 m , 1 / 4 π ϵ 0 =   8,99   .   10 9   N . m 2 C 2 e q = - 4,23   .   10 - 15   C .

E x =   8,99   .   10 9   N . m 2 C 2 - 4,23   .   10 - 15   C 50   m 2

E x =   - 1,52 · 10 - 8   N / C

Assim, E → = E → x = 1,52 · 10 - 8   N / C .  

E finalmente...

Passo 7

Item (e)

Note que a expressão que obtemos na aproximação do item anterior é o mesmo de uma partícula de carga - q = - 4,23   f C situada a uma distância a = 50   m do ponto P , assim, o resultado é o mesmo do item anterior

E → x = 1,52 · 10 - 8   N / C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

a   λ =   - 5,19   x   10 - 14   C / m

b   E x =   1,57   x   10 - 3   N / C

c     - 180 °

d   E → x = 1,52   x   10 - 8   N / C .    

e     E → x = 1,52   x   10 - 8   N / C .  

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