Enunciado

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Na Fig. abaixo, uma barra fina de vidro forma uma semicircunferência de raio r = 5,00 cm. Uma carga +q = 4,50 pC está distribuída uniformemente na parte superior da barra e uma carga - q = -4,50 pC está distribuída uniformemente na parte inferior. Determine (a) o módulo e (b) a orientação (em relação ao semieixo x positivo) do campo elétrico E → no ponto P, situado no centro do semicírculo.

Passo 1

Bem, para essa questão iremos utilizar o campo elétrico de um arco de circunfência carregada (tem essa fórmula e a dedução dela no início desse capítulo no livro), o campo elétrico no centro de um arco circular é:

E = λ 4 π ϵ 0 r s e n x ​ - θ θ

Em que λ é a densidade linear de carga. Nessa questão, cada quarto de circunferência faz um campo elétrico que tem o módulo igual a:

E → = q r π 2 1 4 π ϵ 0 r s e n x ​ - π 4 π 4 = 1 4 π ϵ 0 2 2 q π r 2   .

Colocamos θ = π / 4 , pois os limites de integração variam de θ a – θ , então a variação total deve ser igual a π 2 [ π / 4 - - π / 4 ] .

Passo 2

Agora que achamos o módulo, vamos achar as direções dos campos elétricos. Vamos lembrar que o campo devido a carga negativa é convergente (aproximação) e devido a carga positiva é divergente (afastamento).

O ângulo que o campo devido ao arco de cima (positivo) faz com o semieixo positivo x é -45°, enquanto o ângulo do vetor campo elétrico devido ao arco debaixo (negativo) em relação ao semieixo x é de -135°. Aí você me pergunta: mas e as outras componentes que apontam para as outras direções?

Bom, como temos simetria entre o arco positivo em cima e o arco negativo embaixo, muitas componentes se cancelam até restarem apenas essas duas.

Os vetores ficam assim:

Passo 3

Item (a)

O módulo do campo total será dado apenas por uma componente em y, já que as componentes em x se cancelam devido aos vetores E 1 e E 2 serem iguais em módulo e terem componentes em x iguais ( E 1 X   e   E 2 X   se cancelam):

Então basta decompor os vetores no eixo y ( E 1 y   e   E 2 y ) , isto é, multiplicar por c o s 45 °   que é o ângulo que eles fazem com o semieixo y negativo:

E → t o t = E t o t , y   = 2 1 4 π ϵ 0 2 2 q π r 2   c o s 45 ° =   1 4 π ϵ 0 4 q π r 2  

E → t o t = 8,99   x   10 9   N . m 2 C 2 4 4,50   x   10 - 12   C 5,00   x   10 - 2   m 2 π

E → t o t = 20,6   N / C .

Passo 4

Item (b)

Por simétrico, como vimos anteriormente, o campo faz um ângulo de -90° com o semieixo x positivo.

Resposta

a     E → t o t = 20,6   N / C .

b   -90° com o semieixo x positivo.

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