Enunciado

A Fig. abaixo mostra um próton (p) no eixo central de um disco com uma densidade uniforme de cargas devido a um excesso de elétrons. Três dos elétrons são mostrados na figura: o elétron e c no centro do disco, e os elétrons e s , em extremidades opostas do disco, a uma distância R do centro. O próton se encontra inicialmente a uma distância z = R = 2,00 cm do disco. Com o próton nessa posição, determine o módulo (a) do campo elétrico E c →   produzido pelo elétron e c   e (b) do campo elétrico total   E → s , t o t produzido pelos elétrons e s . O próton é transferido para o ponto z = R/10,0. Determine os novos valores (c) do módulo de E c → e (d) do módulo de E → s , t o t . (e) Os resultados dos itens (a) e (c) mostram que o módulo de E c → aumenta quando o próton se aproxima do disco. Por que, nas mesmas condições, o módulo de E → s , t o t diminui, como mostram os resultados dos itens (b) e (d)?

Passo 1

O enunciado dessa questão é bastante grande... Mas vamos por partes. Ele nos dá uma configuração como indicada na figura em que há um próton e três elétrons e ele pede várias coisas. Primeiro, ele pede o módulo do campo elétrico produzido pelo elétron central.

Passo 2

Item (a)

Como o próton está a uma distância r = z = R = 0,020   m centro do disco,

E c = e k r 2 = e k R 2 = 8,99   ×   10 9   N . m 2 C 2 1,60   ×   10 - 19   C 0,020   m 2

E c = 3,60 ×   10 - 6   N / C

Passo 3

Item (b)

Devido a simetria, as componentes horizontais do campo elétrico se cancelam no ponto P e só sobram as componentes verticais. Como o campo é vertical, para decompor o vetor campo elétrico na vertical, basta multiplicar pelo cosseno do ângulo que esse vetor forma com o eixo y. Chamaremos esse ângulo de θ , o cosseno de θ é c o s θ = z R 2 + z 2 , em que z   é a distância do próton até o eixo x e R é o raio do disco. O módulo do campo elétrico é dado por:

E s , t o t   = 2 e k r 2 cos ⁡ θ = 2 e k R 2 + z 2 z R 2 + z 2 = 2 e z k R 2 + z 2 3 / 2

Como nesse caso z = R

E s , t o t   = 2 e R k R 2 + R 2 3 / 2 = 2 e R k 2 3 / 2 R 3 = e k 2 R 2 = 1 2 e k R 2

Sendo que e k R 2 é o campo do passo anterior então teremos

E s , t o t   = 3,60 × 10 - 6 2

E s , t o t = 2,54 × 10 - 6   N / C

Passo 4

Item (c)

Nesse item, como o próton está agora a uma distância 10 vezes menor, pois dividimos o valor antigo por 10, temos:

E c n o v o = e k r 10 2 = e k r 2 100 = 100 e k r 2 = 100   E c

Portanto, o campo elétrico antigo é aumentado em 100 vezes! Portanto, o novo campo é:

E c = 3,60   ×   10 - 4   N / C

Passo 5

Item (d)

Como, novamente, as componentes horizontais se cancelam, o campo elétrico produzido pelos elétrons e s   é vertical e o módulo é dado por:

E s , t o t = 2 e z k R 2 + z 2 3 / 2

Agora z = R / 10 , então vamos ter

E s , t o t = 2 e R 10 k R 2 + R 10 2 3 / 2 = 2 e R k 10 R 3 1 + 1 10 2 3 / 2 = e k R 2 2 10 1 + 1 100 3 / 2

Agora vamos trabalhar nessa fraçãozona

2 10 1 + 1 100 3 / 2 = 1 5 1 + 0,01 3 = 0,2 1,01 3 ≈ 0,19

Como e k / R 2 = 3,6 × 10 - 6 N / C

E s , t o t = 3,60 × 10 - 6 0,19

E s , t o t = 0,70 × 10 - 6 N / C

Passo 6

Item (e)

Basta ver que quando o próton se aproxima do disco, as componentes verticais do campo elétrico devido aos elétrons e s diminuem e as componentes horizontais aumentam. Como as componentes horizontais se cancelam, o que nós notamos é uma diminuição no campo elétrico E s ,   t o t .

Resposta

a)   E c = 3,60   ×   10 - 6   N / C  

b) E s , t o t = 2,54 × 10 - 6   N / C

c)   E c = 3,60   ×   10 - 4   N / C

d) E s , t o t = 0,70 × 10 - 6 N / C

e) Explicação do Passo 6

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