Enunciado

A Fig. 13-37 mostra uma cavidade esférica no interior de uma esfera de chumbo de raio R = 4,00 c m ; a superfície da cavidade passa pelo centro da esfera e “toca” o lado direito da esfera. A massa da esfera antes de ser criada a cavidade era M = 2,95 k g . Com que força gravitacional a esfera de chumbo com cavidade atrai uma pequena esfera de massa m = 0,431 k g que se encontra a uma distância d = 9,00 c m do centro da esfera de chumbo, sobre a reta que liga os centros das esferas e o centro da cavidade?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, esse problema a princípio pode parecer bem complicado, mas ele na verdade é bem mais simples do que parece.

Pense aqui comigo meu patrão. A região da esfera que foi removida não exerce gravidade sobre a massa m , correto? Beleza. Mas isso não é a mesma coisa que considerar a esfera toda cheia exercendo gravidade sobre m e uma esfera do tamanho da cavidade exercendo uma “gravidade negativa”? O efeito final será o mesmo.

Agora calcular o efeito de uma esfera com uma cavidade de pode ser bem complicado, mas calcular o efeito de uma esfera cheia e de outra esfera cheia com “gravidade negativa” é bem mais fácil. Esse é o pulo do gato pra resolver a questão.

Passo 2

Iradoso, então vamos começar determinando a massa que foi removida da esfera. A cavidade tem raio r = R / 2 . Vamos chamar de M c a massa removida da esfera. Como a densidade do material é o mesmo, temos a relação:

ρ c = ρ e

Onde ρ c e ρ e representam a densidade da porção retirada da cavidade e a densidade da porção da esfera que permaneceu inalterada, respectivamente. Sendo assim:

M c r 3 = M R 3

Logo:

M c = r 3 R 3 M

M c = R / 2 3 R 3 M

M c = M 8

Passo 3

Belezoca, agora vamos considerar a influência gravitacional da esfera cheia e uma influência negativa de uma esfera de mesma massa da massa removida da esfera, ou seja, a massa virtual da cavidade. Temos então

F = G M m d 2 ⏝ parte postiva - G M 8 m d - R / 2 2 ⏝ cavidade

F = G M m 1 d 2 - 1 8 d - R / 2 2

Dessa maneira, substituindo os valores que o enunciado fornece pra gente, obtemos que:

F = 6,67 × 10 - 11 2,95 0,431 1 0,09 2 - 1 8 0,09 - 0,04 2 2

F = 8,31 × 10 - 9   N

Resposta

A força é de F = 8,31 × 10 - 9   N .

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