Enunciado

A Figura 12-57 mostra uma escada de 20,0 kg apoiada em uma parede sem atrito e sobre uma superfície horizontal sem atrito. Para evitar que a escada escorregue, sua base é amarrada à parede com um arame fino. Quando ninguém está na escada, a tração no arame é 29,4N. (O arame se rompera se a tração exceder 200 N).

  1. Se uma pessoa de 80 kg subir até a metade da escada, qual será a força exercida pela escada sobre a parede?
  2. Até que distância do pé da escada a pessoa pode subir?

Passo 1

Então galera, o que está acontecendo aqui? Nós temos uma escada que deve ser mantida fixa na parede pelo arame.

Dizemos então que a escada deve permanecer em equilíbrio estático. Mas o que isso quer dizer? O corpo está em equilíbrio quando duas condições são satisfeitas:

∑ F → = 0     e   ∑ τ → = 0

Agora vamos desenhar esta situação, colocando as forças que atuam sobre esta escada:

No centro de gravidade, ou seja, no ponto central da nossa placa, temos a força gravitacional F → g sendo aplicada para baixo. Dada por:

F → g . e = m e s c a d a . g

Quando temos uma pessoa na escada também haverá uma força peso atuando sobre ela:

F → g . p = m p e s s o a . g

Como nós temos duas superfícies em contato, existe a força normal F → N perpendicular à superfície, que neste caso é a nossa parede, e a força normal que a parede exerce sobre a escada, F → w .

Como temos um cabo suportando a escada, temos uma força de tração (T) no arame, formando com a escada um ângulo θ .

Passo 2

Na letra a nós queremos achar a força F → w quando uma pessoa de 80 kg está na metade da escada. E para isso podemos usar a segunda condição do equilíbrio, ∑ τ → = 0 .

O torque é calculado como:

∑ τ → = ∑ ( r → . F → )

Onde r é a distância entre a força e o eixo de rotação. A escolha do eixo será muito importante, e aqui vamos escolher o ponto onde a escada entra em contato com o chão, como nosso eixo.

Beleza ! Quando fazemos isso a força da gravidade, para a escada e para a pessoa, terá r = L 2 , enquanto a força da parede terá r = L .

Uma observação muito importante ! Para que haja torque, devemos achar as componentes da força que forma 90° com a escada. Vamos começar com as forças peso que estarão na mesma posição:

Então,

F → g . p , y F → g . p = cos ⁡ θ →   F → g . p , y = F → g . p . cos ⁡ θ

F → g . p , y = M g . cos ⁡ θ

F → g . e , y F → g . e = cos ⁡ θ →   F → g . e , y = F → g . e . cos ⁡ θ

F → g . e , y = m g . cos ⁡ θ

Para a força normal exercida pela parede, temos:

F → w . y F → w = s en ⁡ θ →   F → w , y = F → w . s en ⁡ θ

Já temos r e as forças perpendiculares, agora só precisamos saber o sentido de rotação. Por convenção se uma determinada força for capaz de girar o corpo no sentido anti-horário seu sinal será positivo. A força peso é capaz de girar a barra no sentido horário (-), já as força normal da parede gira no sentido anti-horário (+).

Jogando toda informação na segunda condição:

F → w . L sen ⁡ θ - L 2 m g . cos ⁡ θ - L 2 M g . cos ⁡ θ = 0

F → w . L sen ⁡ θ - L 2 g . cos ⁡ θ ( m + M ) = 0

Isolando F → w :

F → w = 1 2 g . cos ⁡ θ m + M sen ⁡ θ

F → w = g . m + M 2 tg ⁡ θ

Passo 3

Legal galera, nós temos alguns dados:

M = 8 0,0   k g

m = 2 0,0   k g

g = 9,81   m / s ²

Mas ainda falta tg ⁡ θ ! O problema nos forneceu pelo desenho que:

tg ⁡ θ = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = 5 1,50

Substituindo:

F → w = ( 9,81   m / s ² ) . 100   k g 2 . 5 1,50 = 0,15   k N

Passo 4

Muito bem, estamos quase acabando! Só precisamos achar até que distância a pessoa pode subir sabendo que o máximo de tração que o arame suporta é 200 N. Usando a primeira condição do equilíbrio na direção x:

∑ F x → = 0

Nesta direção nós temos duas forças, tração e a força normal exercida pela parede:

T - F → w = 0

T = F → w

Sabendo da tração máxima:

200   N = F → w

Sabemos então que podemos substituir a força normal pela tração. Agora vamos para a grande sacada facilitadora desse problema, nós sabemos do Passo 2 que:

F → w . L sen ⁡ θ - L 2 m g . cos ⁡ θ - L 2 M g . cos ⁡ θ = 0

Só que nesta nova situação nós não sabemos qual a distância d a pessoa estará, então podemos manipular esta equação:

F → w . L sen ⁡ θ - L 2 m g . cos ⁡ θ - d M g . cos ⁡ θ = 0

Isolando d:

d = F → w . L sen ⁡ θ - 1 2 m g . L . cos ⁡ θ M g . cos ⁡ θ

Pelo triângulo retângulo:

L . cos ⁡ θ = 1,50   m

L sen ⁡ θ = 5,00   m

cos ⁡ θ = 0,287

Substituindo:

d = 200   N . 5   m - 1 2 . 20   k g .   9,81 m s 2 . 1,50   m 8 0   k g .   9,81 m s 2 . 0,287 = 3,8   m

Resposta

  1. F → w = 0,15   k N
  2. d = 3 , 8   m
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