Enunciado

Um capacitor cilíndrico tem raios a e b como na Fig. 27-6. Mostre que metade da energia potencial elétrica armazenada está dentro de um cilindro cujo raio é

r = a b

Passo 1

Fala galera, bora lá!

A energia acumulada num campo elétrico que ocupa um volume V é obtida integrando-se, sobre todo o volume V , a densidade de energia u E do campo elétrico. Portanto,

U r - ∫ u E   d V = ϵ 0 2 ∫ a r E 2 d V

onde d V = 2 π r L   d r e o elemento de volume da gaussiana cilíndrica de raio r considerada.

Usando a Eq. 27-12, encontramos que o campo elétrico entre as placas de um capacitor cilíndrico de comprimento L contendo uma carga q e de raio   r e dado por

E r = q 2 π ϵ 0 L r

Passo 2

Substituindo-se este valor na equação para U ( r ) , acima, encontramos a seguinte relação para a energia acumulada no campo elétrico dentro do volume compreendido entre o cilindro de raio a e o cilindro de raio r :

U r = ϵ 0 2 ∫ a r q 2 π ϵ 0 L r 2 2 π r L   d r

Tirando as constantes da integral.

U r = q 2 4 π ϵ 0 L ∫ a r 1 r d r

Assim, resolvendo a integral.

U r = q 2 4 π ϵ 0 L l n l n   r a  

Passo 3

A energia potencial máxima U M é obtida para r = b :

U M = U b = q 2 4 π ϵ 0 L l n l n   b a  

Para obter o valor de r pedido precisamos simplesmente determinar o valor de r para o qual tenhamos U r = U M 2 . Substituindo-se nesta equação os valores de U ( r ) e U M acima, encontramos sem nenhuma dificuldade que

U r = U M 2   →   1 = 2 l n l n   r a   l n l n   b a  

r = a b

Resposta

Resolução nos passos anteriores

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