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A Figura 22-42 mostra uma porção da seção transversal de um cubo concêntrico infinitamente longo. O condutor interno tem uma densidade linear de carga de 6,00   n C / m e o condutor externo não tem carga resultante. (a) Determine o campo elétrico para todos os valores de R , onde R é a distância perpendicular ao eixo comum do sistema cilíndrico. (b) Quais são as densidades superficiais de carga nas superfícies do lado de dentro e do lado de fora do condutor externo?

Passo 1

Eai galera. Temos mais um problema de simetria cilíndrica! Aqui também devemos usar o conceito de indução total. Sejam: a 1 o raio do cilindro interno; a 2 o raio da parte interna do cilindro externo e a 3 o raio da parte externa do cilindro externo.

Passo 2

  • Para R < a 1 , temos E = 0 pois ele estará no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático. Assim, não pode haver campo elétrico.
  • Para a 1 < R < a 2 , poderemos usar a lei de Gauss. Veja a figura abaixo
  • Na figura acima o círculo tracejado representa o cilindro gaussiano. Dessa forma, temos que

    q i n t = λ L

    Logo,

    E 2 π R L = λ L ε 0 E = λ 2 π ε 0 R = 6,00 × 10 - 9 2 π 8,85 × 10 - 12 R = 108   N ⋅ m / C R

  • Para a 2 < R < a 3 , segue que o campo elétrico é nulo, pois estamos no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático.
  • Para R > a 3 toda a carga resultante na lei de Gauss será a carga do cilindro interna, pois o cilindro externo não está carregado. Logo, o campo terá exatamente a mesma forma do calculado para a 1 < R < a 2 :

E = 108   N ⋅ m / C R

Passo 3

  • Pela indução total que o cilindro interno exerce, a carga na parte interna do cilindro externo deve ser igual a do cilindro interno. Logo,
  • q 2 = - λ L σ 2 2 π a 2 L = - λ L σ 2 = - λ 2 π a 2 = - 6,00 × 10 - 9 2 π 4,50 × 10 - 2 = - 21,22   n C / m 2

    Para a parte externa, temos

    σ 3 = λ 2 π a 3 = 6 × 10 - 9 2 π 6,50 × 10 - 2 = 14,7   n C / m 2

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