Enunciado

Uma roda homogênea de massa 10,0   k g e raio 0,400   m está montada rigidamente em um eixo que passa pelo centro (Fig. 11-62). O raio do eixo é 0,200   m e o momento de inércia do conjunto roda-eixo em relação ao eixo é 0,600   k g ∙ m 2 . A roda está inicialmente em repouso no alto de uma superfície que faz um ângulo θ = 30,0 ° com a horizontal; o eixo está apoiado na superfície, sem tocá-la. Depois de liberado, o eixo rola para baixo, suavemente e sem deslizamento, ao longo da superfície. Depois que o conjunto roda-eixo desce 2,00   m ao longo da superfície, qual é (a) a energia cinética de rotação e (b) a energia cinética de translação do conjunto?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, queremos encontrar encontrar os valores da energia cinética de rotação K r o t e da energia cinética de translação K t , dadas como:

K r o t = 1 2 I ω 2 ,     K t = 1 2 m v C M 2

Onde I , ω e v C M são o momento de inércia, a velocidade angular e velocidade linear do conjunto roda-eixo, respectivamente. Agora pra gente conseguir relacionar essas duas energias vamos fazer o seguinte, se liga só:

Inicialmente temos o sistema na configuração inicial dada como na figura abaixo:

h

Nesse momento inicial o sistema roda-eixo, está momentanemete parado a uma altura h do chão:

De forma que toda a energia mecânica inicial E i   presente no sistema é formada por energia potencial gravitacional U   relacionado a altura h :

E i = U

E i = M g h

Onde M é a massa do conjunto roda-eixo. Agora quando o conjunto roda-eixo percorre uma distância d sobre a rampa:

Teremos uma energia mecânica final E f   formada apenas pela energia cinética de rotação K r o t   e energia cinética de translação K t , tal que:

E f = K r o t + K t

E f = 1 2 I ω 2 + 1 2 m v C M 2

A malanadragem agora é a gente lembrar que a energia mecânica desse sistema se conserva, de maneira que:

E i = E f

M g h = 1 2 I ω 2 ⏝ K r o t + 1 2 M v C M 2 ⏝ K t

Passo 2

Iradoso, pra gente conseguir organizar melhor nossa equação, podemos com um pouquinho de trigonometria, descobrir através da figura, que:

h = d s e n ⁡ θ

Além disso, usando o relação entre a velocidade linear v C M e a velocidade angular ω para o caso de rolamento sem deslizamento, obtemos:

v c m = ω R

De maneira que podemos reescrever nossa equação como:

M g d sen ⁡ θ = 1 2 I ω 2 + 1 2 M ω R 2

Isolando ω :

2 M g d sen ⁡ θ = I ω 2 + M ω 2 R 2

2 M g d sen ⁡ θ = ω 2 I + M R 2

ω = 2 M g   d s e n ⁡ θ I + M R 2

Substituindo os valores dados pelo enunciado, descobrimos que:

ω = 2 × 10 × 9,8 × 2 × sin ⁡ 30 ° 0,6 + 10 × 0,2 2

ω = 14   rad/s

Com o valor de ω no gatilho, podemos determinar a energia cinética de rotação do sistema, de forma que:

K r o t = 1 2 I ω 2

Substituindo os valores que descobrimos:

K r o t = 1 2 0,6 × 14 2

K r o t = 58,8   J

Passo 3

Por fim, usando o vínculo do movimento de translação com o movimento de rotação, temos:

v C M = ω R

Substituindo os valores:

v C M = 14 × 0,2

v C M = 2,8   m/s

Assim, calculando a energia cinética de translação:

K t = 1 2 M v C M 2

Tal que:

K t = 1 2 10 × 2,8 2

K t = 39,2   J

Resposta

  1. K r o t = 58,8   J ;
  2. K t = 39,2   J .
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