Enunciado

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Uma partícula de 10   g executa um MHS com uma amplitude de 2,0   m m , uma aceleração máxima de módulo 8,0.10 3 m / s 2 e uma constante de fase desconhecida φ . Qual é (a) o período do movimento, (b) a velocidade máxima da partícula e (c) a energia mecânica total do oscilador? Qual é o módulo da força que age sobre a partícula quando ela está (d) em seu deslocamento máximo e (e) na metade do deslocamento máximo?

Passo 1

Vamos começar organizando as informações que o enunciado já deu.

Temos a massa m da partícula:

m = 10   g = 0,01   k g

Temos a amplitude x m do movimento:

x m = 2,0   m m = 2,0   . 10 - 3   m

E a aceleração máxima a m do movimento:

a m = 8,0   .   10 3 m / s 2

Lembrando que a fórmula da aceleração máxima é:

a m = ω 2 x m

Passo 2

(a) Primeiro queremos saber o período do movimento. Pra isso precisamos descobrir a frequência angular.

Usando a fórmula da aceleração máxima:

a m = ω 2 x m = 8,0.10 3

ω = 8,0.10 3 2,0.10 - 3 = 2,0   .   10 3   r a d / s

E então o período vai ser:

T = 2 π ω = 2 π 2,0.10 3 = 3,1   .   10 - 3   s

Passo 3

(b) A velocidade máxima da partícula segue aquele fórmula bem conhecida:

v m á x = ω x m

v m á x = 2,0.10 3 2,0.10 - 3 = 4,0   m / s

Passo 4

(c) A energia mecânica total do oscilar pode ser calculada de várias formas.

Por exemplo, sabemos que quando a velocidade é máxima, toda a energia do oscilador é energia cinética:

E = 1 2 m v m 2

Acabamos de calcular a velocidade máxima:

E = 1 2 0,01 4,0 2 = 0,08   J

Passo 5

(d) Agora queremos o módulo da força sobre a partícula quando ela atinge o deslocamento máximo.

Bom, a gente sabe que a fórmula do módulo da força sobre a partícula é:

F = k x

E o deslocamento máximo é simplesmente a amplitude do movimento:

F m = k x m

E fica faltando só o valor de k , mas não tem problema, é só aproveitar a frequência angular:

ω = k m

k = ω 2 m

k = 2,0.10 3 2 0,01 = 4,0.10 4   N / m

E então:

F m = 4,0.10 4 2,0.10 - 3 = 80   N

Passo 6

(e) Agora, pra fechar, queremos o módulo da força quando o deslocamento é a metade do máximo.

Sem problemas, é só fazer o seguinte:

F = k x m 2

F = 4,0.10 4 . 2,0.10 - 3 2 = 40   N

Resolvido!

Resposta

(a) T = 3,1   .   10 - 3   s

(b) v m á x = 4,0   s

(c) E = 0,080   J

(d) F m = 80   N

(e) F = 40   N

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