Enunciado

Na figura, uma diferença de potencial V = 100 V é aplicada a um circuito de capacitores cujas capacitâncias são C 1 = 10,0 μF, C 2 = 5,00 μF e C 3 = 4,00 μF. Determine (a) q 3 ; (b) V 3 ; (c) a energia armazenada U 3 ; (d) q 1 ; (e) V 1 ; (f) U 1 ; (g) q 2 ; (h) V 2 ; (i) U 2 .

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Este é um problema complexo no qual temos capacitores em paralelo e em série. Nos são fornecidos a capacitância e a voltagem de cada capacitor. Precisamos encontrar a carga ( q i ) , a voltagem ( V i ) e a energia armazenada ( U i ) para cada capacitor. Vamos usar a seguinte equa��ão para carga e voltagem:

  q i =   C i ⋅ V i

Isso ocorre porque a carga aumenta quando a voltagem aumenta. A voltagem pode ser calculada a partir da equação (1) expressando-a da seguinte forma:

V i = q i C i

E, por fim, precisamos lembrar da equação para a energia armazenada:

U i = 1 2 ⋅ C i ⋅ V i 2

Você se lembra das equações para capacitores em série e em paralelo?

Passo 2

Parabéns se você se lembrou. A equação para capacitores em paralelo é:

C ptotal = ∑ i = 1 n C i

E para capacitores em série:

1 C stotal = ∑ i = 1 n 1 C i

Usaremos ambas essas equações para continuar a resolução.

Nesta parte, precisamos apenas calcular a terceira carga. A capacitância do terceiro capacitor é fornecida, mas e a voltagem? Bem, a voltagem é a mesma que a voltagem total, como podemos ver na imagem. Usando a primeira equação, obtemos:

q 3 = C 3 ⋅ V 3 = 4   μ F ⋅ 100   V = 0.0004  

Este é o valor da carga no terceiro capacitor que vamos usar para cálculos adicionais.

Passo 3

b) Como já mencionado no passo anterior, a voltagem no terceiro capacitor é a mesma que a voltagem total. Dito isso, o valor é:

V 3 = 100   V

Você consegue calcular a energia armazenada para o terceiro capacitor? Com o que a energia armazenada está relacionada?

Passo 4

c) Vamos lembrar o que dissemos no início. A equação da energia armazenada (3) está relacionada à capacitância e à voltagem. Agora, esta é a ( U 3 ) , o que significa que, a partir da fórmula, precisamos de ( C 3 ) e ( V 3 ) . No passo anterior, encontramos o valor da voltagem, e o valor da capacitância nos foi dado. Podemos usar nossa equação para resolver este problema.

U 3 = 1 2 ⋅ C 3 ⋅ V 3 2

= 1 2 ⋅ 4   μ F ⋅ 100   V 2

= 0.02   J

Essa é a nossa energia armazenada para o terceiro capacitor.

Passo 5

d) Para calcular o valor da carga no primeiro e segundo capacitor, precisaremos encontrar a capacitância equivalente para os dois capacitores dados. Eles estão em série, o que significa que a equação para a carga será a seguinte:

[ q 1 = V ⋅ ∑ i = 1 2 1 C i - 1 = V ⋅ 1 C 1 + 1 C 2 - 1 = V ⋅ C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2 ]

Substituindo os valores dados:

q 1 = 100   V ⋅ 10   μ F ⋅ 5   μ F 10   μ F + 5   μ F

= 100   V ⋅ 15   μ F 50   μ F

= 3.33 × 10 - 4 C

esse é o valor da carga q 1 .

Passo 6

e) Lembre-se da equação (2) para que possamos resolver a voltagem do segundo capacitor. A voltagem no primeiro capacitor será igual a:

V 1 = q 1 C 1

= 3.33 × 10 - 4   C 10   μ F

= 3.33 × 10 - 4   C 10 × 10 - 6   F = 33 . 3   V

usaremos esse valor para determinar ( V 2 ) e também algo mais tarde. Você se lembra do que é esse "algo mais"?

Passo 7

f) Da mesma forma que fizemos na parte c), completaremos essa solução diretamente usando a equação para energia armazenada, pois temos todas as informações necessárias. Essa era a outra coisa em que você precisa usar o valor para a voltagem ( V 1 ) . Cálculo:

U 1 = 1 2 ⋅ C 1 ⋅ V 1 2

= 1 2 ⋅ 10   μ F ⋅ 33.3   V 2 = 5.55 × 10 - 3   J

Outra equação simples e cálculo.

Passo 8

Para calcular o valor da carga nos capacitores 1 e 2, precisaremos encontrar a capacitância equivalente para esses dois capacitores fornecidos. Eles estão em série, o que significa que a equação para a carga será a seguinte:

q 1 = V ⋅ ∑ i = 1 2 1 C i - 1 = V ⋅ 1 C 1 + 1 C 2 - 1 = V ⋅ C 1 ⋅ C 2 C 1 + C 2

Substituindo os valores dados:

q 1 = 100   V ⋅ 10   μ F ⋅ 5   μ F 10   μ F + 5   μ F

= 100   V ⋅ 15   μ F 50   μ F = 3.33 × 10 - 4 C

esse é o valor da carga ( q 1 ) .

g) A carga ( q 1 ) é a mesma que ( q 2 ) , o que significa:

q 1 = q 2 = 3.33 × 10 - 4   C

Passo 9

h) Agora, o que devemos fazer com a voltagem? Temos a voltagem total, bem como a voltagem ( V 1 ) . Na série, a voltagem total é a soma de todas as voltagens, o que significa:

[ V = V 1 + V 2 ]

A partir daqui, podemos expressar a diferença de potencial ( V 2 ) e calculá-la usando os valores dos passos anteriores:

V 2 = V - V 1 = 100   V - 33.3   V = 66.7 V

i) Por fim, precisamos encontrar a energia armazenada ( U 2 ) , o que pode ser feito novamente usando a mesma equação que usamos para o problema anterior com a energia armazenada.

U 2 = 1 2 ⋅ C 2 ⋅ V 2 2

= 1 2 ⋅ 5   μ F ⋅ 66.7   V 2 = 0.0111  

E este é o fim desta solução.

Resposta

Letra (a): q 3 = 400   μ C

Letra (b): V 3 = 100   V

Letra (c): U 3 = 20,0   m J

Letra (d): q 1 = 333   μ C

Letra (e): V 1 = 33,3   V

Letra (f): U 1 = 5,55   m J

Letra (g): q 2 = 333   μ C

Letra (h): V 2 = 66,7   V

Letra (i): U 2 = 11,1   m J

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