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Na figura, dois satélites, A e B , ambos de massa m = 125   k g , ocupam a mesma órbita circular de raio r = 7,87   .   10 6   m em torno da Terra e se movem em sentidos opostos, estando, portanto, em rota de colisão. (a) Determine a energia mecânica total E A + E B do sistema dos dois satélites e a Terra antes da colisão. (b) Se a colisão é perfeitamente inelástica, de modo que os destroços se tornam um único bloco (de massa = 2 m ), determine a energia mecânica total imediatamente após a colusão. (c) Imediatamente após a colisão, os destroços caem em direção ao centro da Terra ou continuam em órbita da Terra?

Passo 1

Vamos lembrar que a energia mecânica é a soma da energia potencial com a energia cinética. Então para um determinado satélite, a fórmula da energia mecânica é:

E = K + U

E = m v 2 2 - G M T m r

Precisamos lembrar da fórmula para a velocidade orbital:

v =   G M T r ⇒ v 2 = G M T r

Vamos substituir na fórmula anterior para termos uma fórmula da energia mecânica de um satélite:

E = G M T m 2 r - G M T m r = - G M T m 2 r

Passo 2

(a) Agora queremos usar isso para calcular a energia mecânica do sistema todo. Já que os dois satélites tem a mesma massa m , fica assim:

E T o t a l = E 1 + E 2 = - G M T m 2 r - G M T m 2 r = - G M T m r

Agora é só substituir os valores:

E T o t a l =   - 6,67.10 - 11 5,98.10 24 125 7,87.10 6 = - 6,33   .   10 9   J

Passo 3

Para resolver a letra (b), precisamos entender o que vai acontecer na colisão dos satélites. O enunciado já disse que, depois de colidir, os dois seguem juntos como um corpo só, e que os dois satélites tem a mesma massa e raio de órbita (e, portanto mesma velocidade).

Vamos aplicar a conservação de momento linear p → do sistema:

p a n t e s → = p d e p o i s →

Não esqueça de que momento linear é uma grandeza vetorial. Como a colisão é frontal, podemos atribuir sinal positivo a um dos dois, e negativo ao outro:

m v a n t e s - m v a n t e s = 2 m v d e p o i s

2 m v d e p o i s = 0

E a única solução possível é:

v d e p o i s = 0

Ou seja, os dois satélites não têm velocidade após a colisão. Agora falta calcular a energia mecânica deles nessas condições.

Passo 4

Como vimos que a velocidade é zero, então agora a energia cinética também é zero, e a energia mecânica vai ser simplesmente a energia potencial. E como agora temos um único corpo de massa 2 m :

E t o t a l =   - G M 2 m r =   - 1,26   .   10 10   J  

Passo 5

Por último, a questão quer saber o que vai acontecer com o par de satélites agora que eles colidiram.

Vimos que, depois da colisão, a velocidade de ambos os satélites zerou. Isso quer dizer que eles não têm mais velocidade tangencial (de órbita), e vão cair verticalmente em direção ao centro da Terra, com ajuda da força gravitacional.

Resposta

(a) E T o t a l = - 6,33   .   10 9   J

(b) E T o t a l =   - 1,26   .   10 10   J

(c) Os destroços caem em direção ao centro da Terra

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