Enunciado

Na Figura, um tubo aberto, de comprimento L   =   1,8   m e área de seção transversal A   =   4,6   c m ² , está fixado no topo de um barril cilíndrico de diâmetro D   =   1,2   m e altura   h   =   1,8 m . O barril e o tubo são cheios d’água (até o topo do tubo). Calcule a razão entre a força hidrostática sobre o fundo do barril e a força gravitacional sobre a água contida no barril. Por que esta razão não é igual a 1,0

Passo 1

Show de bolinhas galerinha bonita, nesse exercício aqui o enunciado nos deu um um tubo aberto conectado a um barril como na figura abaixo:

Sabendo que o tubo e o barril estão cheios de água até o topo, com o tubo aberto tendo um comprimento L   =   1,8   m e área de seção transversal A   =   4,6   cm² , e o barril cilíndrico de diâmetro D   =   1,2   m e altura   h   =   1,8   m , o enunciado pede pra gente encontrar a razão entre as forças hidrostática no fundo do barril e a força gravitacional SOBRE a água do barril.

Iradoso, pra isso primeiro vamos lembrar que a pressão hidrostática é dada como:

p h = F A  

Onde A é a área onde é exercida a pressão, ok? Vamos continuar.

No fundo do barril, temos uma força devido à pressão hidrostática exercida por toda a água no tubo e no barril sobre o fundo do barril. Então:

F h = p h A b a r r i l

Onde F h é a força no fundo do barril, p h é a pressão no fundo do barril e A é a área do fundo do barril.

Já sobre a água do barril, temos que a força peso da água no interior do barril é:

F g = m g

Só que ρ = m V , logo m = ρ V . Então:

F g = ρ V g

Onde F g é a força no topo do barril, ρ é a densidade da água, g é a aceleração da gravidade e V é o volume de água no barril. O volume pode ser calculado por área da base vezes a altura:

V = A b a r r i l h

Já que é um barril cilíndrico. Então:

F g = ρ ∙ A b a r r i l h g

E a razão entre as duas é:

F h F g = p h A b a r r i l ρ A b a r r i l h g

Podemos cortar as áreas, pois são iguais logo:

F h F g = p h ρ h g

Só que ρ ∙ h ∙ g é justamente a pressão hidrostática no fundo do barril!!

Então, temos que saber a razão entre as pressões no topo e no fundo do barril! Bora lá!

Passo 2

Belezoca, aqui a gente precisa lembrar que a pressão hidrostática é aquela que ocorre no interior dos líquidos, sendo exercida pelo peso do próprio líquido. Logo, considerando uma coluna de líquido de altura h , vamos obter que:

p h i d r o s t á t i c a = P l i q A

p h i d r o s t á t i c a = m l i q g A

Só que a densidade é dada como:

ρ l i q = m l i q V

Enquanto que o volume que o líquido ocupa depende do recipiente, logo para calcular o volume de líquido, usamos área da base vezes a altura:

ρ l i q = m l i q A h

Ou seja:

m l i q = ρ l i q A h

Substituindo essa massa na pressão hidrostática:

p h i d r o s t á t i c a = ρ l i q A h g A

p h i d r o s t á t i c a = ρ g h

Passo 3

Assim, como a altura no fundo do barril ( h + L ) é o dobro da altura no fundo do tubo ( L ), substituindo na equação do passo 1:

F h F g = p h ρ h g

F h F g = ρ g ( h + L ) ρ g h

Substituindo:

F h F g = ρ g 3,6 ρ g 1,8

F h F g = 2

A diferença entre essas pressões deve-se à força adicional exercida pela presença da água no tubo. E isso que impede que a razões entre elas seja unitária.

Resposta

F h F g = 2

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