Enunciado

Uma corda forte, com massa de 3,00 g e comprimento de 2,20 m, está presa a suportes em cada extremidade e vibra em seu modo fundamental. A velocidade transversal máxima de um ponto no meio da corda é 9,00 m/s. A tensão na corda é 330 N. (a) Qual é a amplitude da onda estacionária em seu ventre? (b) Qual é o módulo da aceleração transversal máxima de um ponto no ventre?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Para resolver este exercício, vamos colocar em prática nosso conhecimento sobre oscilações e ondas, em que usaremos as equações das propriedades de uma onda e também a solução geral da equação de onda.

Passo 2

(a) Vamos calcular a amplitude da onda estacionária. Temos que a velocidade transversal é dada pela derivada da solução geral da equação de onda. Além disso, sabemos que o valor máximo da velocidade transversal é 9   m / s , o que corresponde à amplitude da equação que descreve a velocidade transversal, portanto:

y x , t = A sin ⁡ k x sin ⁡ w t   →   ∂ y ∂ t = w A sin ⁡ k x cos ⁡ w t

w A = 9

Passo 3

Portanto, basta encontrar o valor de w e isolar A . Para isso, vamos calcular a velocidade de propagação da onda fazendo uso dos dados sobre massa, comprimento e tensão fornecidos no enunciado do exercício. Primeiro calcularemos a densidade linear da corda:

μ = m L = 3 2,2

μ = 1,36   g / m = 1,36 × 10 - 3   k g / m

Agora temos que utilizar a equação da velocidade de propagação, substituindo a tensão fornecida e a densidade linear encontrada:

v = T μ = 330 1,36 × 10 - 3

v = 492,59   m / s

Passo 4

Para encontrar w falta somente calcular o valor do número de onda k , para isso basta calcular o comprimento de onda e substituir em sua equação:

k = 2 π λ

Como

λ = 2 L

Então

k = 2 π 2 L = π 2,2 = 1,43

Por definição w é o produto do número de onda pela velocidade de propagação v logo:

w = v k = 492,59   1,43

w = 703,4

Agora isolando a amplitude na primeira expressão que encontramos, obtemos:

703,4 A = 9

A = 0,013   m

Portanto, a amplitude da onda estacionária em seu ventre é 0,013   m .

Passo 5

(b) Vamos agora calcular o módulo da aceleração transversal máxima. Podemos fazer isso simplesmente derivando a equação da velocidade que obtivemos no passo 3, nesse caso a constante que multiplica a função será a amplitude da aceleração, ou seja, a aceleração máxima que buscamos.

∂ y ∂ t = w A sin ⁡ k x cos ⁡ w t

∂ 2 y ∂ t 2 = - 9 w sin ⁡ k x sin ⁡ w t

Logo

a m a x = 9 w = 9 703,4

Portanto, o módulo da aceleração transversal máxima é

a m a x = 6330,6   m / s 2

Resposta

  1. A amplitude da onda estacionária em seu ventre é 0,013   m .
  2. O módulo da aceleração transversal máxima é a m a x = 6330,6   m / s 2 .

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