Enunciado

Um fio muito longo (trate-o como infinito) está eletrizado com uma densidade linear de carga λ . Calcule a força com que atua sobre uma carga puntiforme q colocada à distância ρ do fio.

Sugestão: Tome a origem em O (fig.) e o fio como eixo z . Exprima a contribuição de um elemento d z do fio à distância z da origem em função do ângulo θ da figura. Use argumentos de simetria.

Passo 1

Vamos resolver essa parada!A sugestão dele é que devemos considerar o ponto O como a origem. Ele também disse que o fio é infinito.

Para melhorar a nossa compreensão, podemos imaginar um fio com comprimento L , sendo O o ponto médio do fio, como na figura a seguir.

Repara que separamos dois elementos nos fio, onde cada elemento exerce uma força sofre a carga q. Considerando a simetria em relação ao eixo x , podemos notar que as forças na direção z irão se anular. Sendo assim, a resultante será uma força que aponta na direção i ^ .

Passo 2

Podemos escrever a força que um elemento infinitesimal d q faz sobre q é

d F → = 1 4 π ϵ 0 q   d q r 2   r ^

onde

r → = r   c o s θ   x ^ + r   s e n θ   z ^

Usando teorema de Pitágoras temos que

r = z 2 + ρ 2 1 / 2

Considerando que a densidade linear é

λ = d q d z ⟹ d q = λ   d z

podemos reescrever a expressão, usando a simetria, para a resultante em x

d F x → = 1 4 π ϵ 0 q   λ   d z ρ 2 + z 2   c o s θ   x ^

Passo 3

Sabendo que

cos ⁡ θ = ρ z 2 + ρ 2 1 2

podemos reescrever novamente a expressão para a força

d F x → = 1 4 π ϵ 0 q   λ   d z ρ 2 + z 2   ρ z 2 + ρ 2 1 2   x ^

=   1 4 π ϵ 0 q   λ   d z   ρ ρ 2 + z 2 3 / 2 x ^

Passo 4

Para saber a força que todo o fio exerce sobre a carga q , precisamos integrar a expressão da força de uma parte infinitesimal para contemplar todo o fio. Portanto, temos que

F x → = ∫ - L / 2 L / 2   1 4 π ϵ 0 q   λ   d z   ρ ρ 2 + z 2 3 / 2   x ^

Sabendo que apenas quem varia é z , podemos escrever

F x → =   q   λ   ρ 4 π ϵ 0 ∫ - L / 2 L / 2   d z ρ 2 + z 2 3 / 2   x ^

Agora só precisamos resolver essa integral.

Passo 5

Para resolvê-la, vamos usar uma substituição

z = ρ   t g ( u ) ⟹ d z = ρ sec 2 ⁡ u d u

Portanto

∫   d z ρ 2 + z 2 3 / 2   = ∫ ρ sec 2 ⁡ u d u ρ 2 + ρ 2 t g 2 ( u ) 3 / 2   = 1 ρ 2 ∫ sec 2 ⁡ u d u 1 + t g 2 ( u ) 3 / 2  

Agora só precisamos lembrar da relação trigonométrica

1 + t g 2 u = sec 2 ⁡ u

Assim conseguimos escrever que

1 ρ 2 ∫ sec 2 ⁡ u d u 1 + t g 2 ( u ) 3 / 2   = 1 ρ 2 ∫ sec 2 ⁡ u d u sec 3 ⁡ u =   1 ρ 2 ∫ d u sec ⁡ u = 1 ρ 2 ∫ c o s ⁡ ( u )   d u = 1 ρ 2   s e n u + C

Lembra que usamos z   =   t g θ . Como ele manda consideramos o fio infinito diremos que

L 2 ⟶ ∞ ⟶ θ = π 2

- L 2 ⟶ - ∞ ⇒ θ ⟶ - π 2

Substituindo os limites de integração no resultado da integral teremos como resultado final

2 ρ 2     .

Retornando a expressão da força temos

F x → =   q   λ   ρ 4 π ϵ 0 ∫ - L / 2 L / 2   d z ρ 2 + z 2 3 / 2   x ^ =   q   λ   ρ 4 π ϵ 0   2 ρ 2 x ^ = q   λ   2 π ϵ 0 ρ   x ^    

Resposta

F → =   q   λ   2 π ϵ 0 ρ   x ^

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