Enunciado

Zero, um planeta hipotético, tem uma massa de 5,0 × 10 23 k g , um raio de 3,0 × 10 6 m e nenhuma atmosfera. Uma sonda espacial de 10 kg deve ser lançada verticalmente a partir da sua superfície. (a) Se a sonda for lançada com uma energia inicial de 5,0 × 10 7 J , qual será sua energia cinética quando estiver a 4,0 × 10 6 m do centro de Zero? (b) Com que energia cinética a sonda deve ser lançada para atingir uma distância máxima de 8,0 × 10 6 m do centro de Zero?

Passo 1

Belejóia pessoal, através do princípio da conservação de energia mecânica, a gente sabe que o somatório da energia potencial e energia cinética deve ser o mesmo entre dois pontos quaisquer. Escrevendo isto em linguagem matemática, a gente tem

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

Onde a energia potencial tem a forma:

U = - G M m r

Então, como temos a energia cinética e potencial inicial, e temos como calcular a sua energia potencial quando estiver a 4,0 × 10 6   m do centro do planeta, a gente consegue calcular a sua energia cinética neste ponto. O ponto 1 fica na superfície do planeta, e o ponto 2 é onde queremos calcular. Fica assim:

K 1 - G M m r 1 = K 2 - G M m r 2

K 2 = K 1 + G M m 1 r 2 - 1 r 1

E substituindo os valores que o enunciado nos fornece, obtemos que:

K 2 = 2,2 × 10 7   J

Passo 2

No caso do item (b), como a sonda atingirá um ponto de máximo, sua energia cinética será zero neste ponto ( K 2 = 0 ). Então a gente quer calcular qual a energia cinética inicial para que a sonda atinja uma distância máxima de r 2 = 8,0 × 10 6   m . Fixando o ponto 1 na superfície do planeta e o ponto 2 no ponto máximo atingido, a gente tem

K 1 = K 2 + G M n 1 r 1 - 1 r 2

Logo:

K 1 = 6,9 × 10 7 J

Resposta

(a) K 2 = 2,2 × 10 7 J

(b) K 1 = 6,9 × 10 7 J

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