Enunciado

A função x = 6,0   m c o s ⁡ [ ( 3 π   r a d / s )   t   + π / 3   r a d ] descreve o movimento harmônico simples de um corpo. No instante t = 2,0   s , qual é (a) o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração e (d) a fase do movimento? Qual é também (e) a frequência e (f) o período do movimento?

Passo 1

Fala galerinha bonita, tudo belezinha?

Nesse exercício aqui, o enunciado nos dá um oscilador descrito pela função:

x = 6,0 c o s 3 π t + π 3

E como a equação geral do MHS é dada como:

x = A cos ⁡ ω t + ϕ

Isso quer dizer que na equação que foi fornecida pra gente, temos uma amplitude dada como:

A = 6,0   m

E uma frequência angular:

ω = 3 π   rad/s

E uma constante de fase:

φ = π 3

Esses três valores são constantes pra esse oscilador, não dependem do tempo.

Passo 2

A letra (a) quer o deslocamento no instante t = 2,0   s .

x t = 6,0 cos ⁡ 3 π t + π 3

Então podemos substituir o valor de t = 2 na nossa fórmula, tal que:

x 2 = 6,0 . cos ⁡ 6 π + π 3

x 2 = 6,0 . cos ⁡ 19 π 3

x 2 = 6,0 . 0,5

Logo:

x 2 = 3,0   m

Passo 3

(b) Pra achar a função da velocidade, é só derivar a fórmula do deslocamento em relação ao tempo:

x t = 6,0 . cos ⁡ 3 π t + π 3

x ' t = v t = - 6,0 3 π . sen ⁡ 3 π t + π 3  

E agora é só substituir os valores de novo:

v 2 = - 18 π   . sen ⁡ 6 π + π 3  

v 2 = - 18 π   . sen ⁡ 19 π 3

v 2 = - 49   m/s

Passo 4

(c) Pra achar a aceleração, é só derivar mais uma vez. Porque a derivada da velocidade em relação ao tempo é a aceleração:

x ' ' t = v ' t = a t = - 6,0 3 π 2   . cos ⁡ ( 3 π t + π / 3   )

a t = - 54 π 2   . cos ⁡ ( 3 π t + π / 3   )

a 2 = - 54 π 2 . cos ⁡ ( 19 π / 3 )

Sendo assim,:

a 2 = - 54 π 2 0,5

a 2 = - 2,7 × 10 2   m/ s 2

Passo 5

(d) A fase do movimento é simplesmente o que está na função cosseno dessa função:

x ( t ) = 6,0 . c o s ⁡ ( 3 π t + π / 3 )

No caso, quando t = 2   s

x 2 = 6,0   . cos ⁡ ( 3 π 2 + π / 3 )

Ou seja, a fase é:

ϕ = 6 π + π 3 = 19 π 3

Segue que:

ϕ = 19 π 3   rad ≅ 20   rad

Passo 6

(e) Agora queremos a frequência de oscilação. A questão já deu o valor da frequência angular ω , então teremos que:

ω = 2 π f

3 π = 2 π f

Isolando f :

f = 3 2 = 1,5   Hz

Passo 7

(f) Pra achar o período é só a gente calcular o inverso dessa frequência:

T = 1 f

T = 1 1,5 = 2 3 = 0,67   s

Resposta

(a) x 2 = 3,0   m

(b) v 2 =   - 49   m / s

(c) a 2 = - 2,7   .   10 2   m / s 2

(d) ϕ = 19 π 3 r a d ≅ 20 r a d

(e) f = 1,5   H z

(f) T = 0,67   s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula se movimenta com velocidade constante de 80c m / s em um círculo de raio de40c m centrado na origem. (a) encontre a frequência e o período da componente x. (b) Escreva uma expressão para
O período de uma partícula oscilando em um movimento harmônico simples é 8.0 s e a sua amplitude é 12 cm. Em t = 0 a partícula está em sua posição de equilíbrio. Encontra a distância que ela percorre
O período de uma partícula oscilando em um movimento harmônico simples é 8.0 s. Em t = 0 , a partícula está em repouso em x = A = 10c m . (a) esboce x como função de t, (b) encontre a distância percor
Uma partícula se move em um círculo de raio de 15 cm centrado na origem e completa 1.0 rev a cada 3.00 s. (a) encontre a velocidade da partícula. (b) encontre sua velocidade angular. (c) escreva uma e
Especificações militares às vezes requerem que dispositivos eletrônicos seja capazes de suportar acelerações de até 10g ( 10 g = 98.1 m / s 2 ) . Para ter certeza que os produtos de sua empresa alcanc