Enunciado

Uma amostra de um gás ideal sofre uma expansão de uma pressão e volume iniciais de 32   a t m e 1,0   L para um volume final de 4,0   L . A temperatura inicial é 300   K . Se o gás é monoatômico e a expansão é isotérmica, quais são (a) a pressão final p f , (b) a temperatura final T f e (c) o trabalho W realizado pelo gás? Se o gás é monoatômico e a expansão é adiabática, quais são (d) p f , (e) T f e (f) W ? Se o gás é diatômico e a expansão é adiabática, quais são (g) p f , (h) T f e (i) W ?

Passo 1

(a) Beleza, vamos começar com o caso de uma expansão isotérmica com um gás monoatômico.

Como calcular a pressão final? Bom, em uma transformação isotérmica:

p i V i = p f V f

32 1,0 = p f ( 4,0 )

p f = 32 4 = 8,0   a t m

Passo 2

(b) A temperatura final vai ser simplesmente igual à inicial! Afinal de conta, a transformação é isotérmica:

T f = T i = 300   K

Passo 3

(c) O trabalho realizado pelo gás em uma transformação isotérmica segue essa fórmula aqui:

W = n R T . ln ⁡ V f V i

E pela lei dos gases ideais:

p V = n R T

W = p V . ln ⁡ V f V i

W = 32,32.10 5 1,0.10 - 3 . ln ⁡ 4,0 1,0

W = 4480,503   J

W ≅ 4,5   .   10 3   J

Passo 4

(d) Agora vamos alguns problemas no caso de um gás monoatômico e uma expansão adiabática.

Primeiro, queremos a pressão final. Dessa vez podemos usar essa propriedade das transformações adiabáticas:

p i V i γ = p f V f γ

Onde o expoente gama no caso de um gás monoatômico é:

γ = 5 3

p f = p i V i V f γ

p f = 32 1,0 4,0 5 / 3  

p f = 3,17480

p f ≅ 3,2   a t m

Passo 5

(e) E a temperatura final? Vamos usar a lei dos gases ideais:

p i V i T i = p f V f T f

32 1,0 300 = 3,2 4,0 T f

T f = 3,2 4,0 300 ( 32 ) ( 1,0 ) = 120   K

Passo 6

(f) E o trabalho realizado por esse gás?

Bom, como a transformação é adiabática ( Q = 0 ), a primeira lei da termodinâmica diz que:

Δ E i n t = Q - W

Δ E i n t = - W

W = - Δ E i n t

E substituindo com a fórmula para a variação da energia interna:

W = - 3 2 n R Δ T

Que pela lei dos gases ideais é a mesma coisa que:

W = - 3 2 p f V f - p i V i

Agora é só converter as unidades e substituir:

W = - 3 2 3,2 ( 1,01.10 5 ) 4,0 ( 10 - 3 ) - 32 ( 1,01.10 5 ) 1,0 ( 10 - 3 )

W = 2908,8   J

W ≅ 2,9   .   10 3   J

Passo 7

(g) Agora vamos ver o caso de um gás diatômico e uma expansão adiabática.

Primeiro, queremos a pressão final. Podemos usar essa propriedade das transformações adiabáticas:

p i V i γ = p f V f γ

Onde o expoente gama no caso de um gás monoatômico é:

γ = 7 5

p f = p i V i V f γ

p f = 32 1,0 4,0 7 / 5  

p f = 4,6   a t m

Passo 8

(h) E a temperatura final? Vamos usar a lei dos gases ideais:

p i V i T i = p f V f T f

32 1,0 300 = 4,6 4,0 T f

T f = 4,6 4,0 300 ( 32 ) ( 1,0 ) = 172,5   K

T f ≅ 172   K

Passo 9

(i) E o trabalho realizado por esse gás?

Bom, como a transformação é adiabática ( Q = 0 ), a primeira lei da termodinâmica diz que:

Δ E i n t = Q - W

Δ E i n t = - W

W = - Δ E i n t

E substituindo com a fórmula para a variação da energia interna:

W = - 3 2 n R Δ T

Que pela lei dos gases ideais é a mesma coisa que:

W = - 3 2 p f V f - p i V i

Agora é só converter as unidades e substituir:

W = - 5 2 4,6 ( 1,01.10 5 ) 4,0 ( 10 - 3 ) - 32 ( 1,01.10 5 ) 1,0 ( 10 - 3 )

W = 3434

W ≅ 3,4   .   10 3   J

Resposta

(a) p f = 8,0   a t m

(b) T f = 300   K

(c) W = 4,5   .   10 3   J

(d) p f = 3,2   a t m

(e) T f = 120   K

(f) W = 2,9   .   10 3   J

(g) p f = 4,6   a t m

(h) T f = 172   K

(i) W = 3,4   .   10 3   J

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