Enunciado

O gerador de corrente alternada da Fig. 31-38 fornece uma força eletromotriz de 120 V e 60,0 Hz. Com a chave aberta como na figura, a corrente está adiantada de 20,0º em relação à força eletromotriz do gerador. Quando a chave é colocada na posição 1, a corrente fica atrasada de 10,0º em relação à força eletromotriz do gerador. Quando a chave é colocada na posição 2, a amplitude da corrente é 2,00 A. Determine o valor ( a) de R ; (b) de. L; ( c) de C.

Passo 1

Então, temos o circuito da figura 31-38, quando a chave esta aberta, temos que um circuito RLC em série, com apenas o capacitor da esquerda. Portanto, podemos achar a fase pela seguinte relação:

t a n ϕ = ω d L – 1 ω d C 1 R

Com a chave desligada:

t a n - 20 º = ω d L – 1 ω d C 1 R

Com a chave na posição 1, a capacitância dobra, temos que:

t a n 10 º = ω d L – 1 2 ω d C 1 R

Com a chave na posição 2, o circuito não tem resistência, dessa forma:

i 2 = ε m Z L C = ε m 1 ω d C - ω d L

Passo 2

(a) Vamos colocar ω d L em evidência, na seguinte equação:

i 2 = ε m 1 ω d C - ω d L

ω d L = 1 ω d C - ε m I 2

Colocando isso na relação com a chave aberta:

t a n - 20 º = ω d L – 1 ω d C 1 R

R = ε m I 2 t a n - 20 º

R = - 120 2,00 t a n - 20 º = 165 Ω

Passo 3

(b) Podemos colocar 1 ω d C em evidência na equação para a chave aberta:

t a n - 20 º = ω d L – 1 ω d C 1 R

1 ω d C = ω d L - R t a n - 20 º

Colocando isso na equação para a chave na posição 1:

t a n 10 º = ω d L – 1 2 ω d C 1 R

R t a n 10 º = ω d L – 1 2 ω d L - R t a n - 20 º = ω d L 2 + R 2 t a n - 20 º

2 R t a n 10 º - R t a n - 20 º = ω d L

L = R ω d 2 t a n 10 º - t a n - 20 º

Utilizando o R que achamos da equação anterior:

L = 165 60,0 2 t a n 10 º - t a n - 20 º = 1,97 H

Passo 4

(c)Finalmente, podemos achar a capacitância. Para isso, basta colocar a capacitância em evidência em alguma equação, pegando a equação para a chave aberta:

C = 1 ω d ω d L - R t a n - 20 º

C = 1 60,0 60,0 1,97 - 165 t a n - 20 º = 9,35 × 10 - 5 F

Resposta

(a) R = 165 Ω (b) L = 1,97 H (c) C = 93,5 μ F

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