Enunciado

Uma haste metálica delgada, de comprimento d e massa M , pode girar livremente em torno de um eixo horizontal, que a atravessa perpendicularmente, à distância d / 4 de uma extremidade. A haste é solta a partir do repouso, na posição horizontal. (a) Calcule o momento de inércia da haste, com respeito ao eixo em torno da qual ela gira. (b) Calcule a velocidade angular ω adquirida pela haste após (Fig.) ter caido de um ângulo θ , bem como a aceleração α .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo certinho? Vamos matar mais uma questão?

Vamos entender o que tá acontecendo por aqui. Em primeiro lugar é pedido pra calcularmos o momento de inércia da haste. Para isso vamos dividir em duas partes a partir do eixo de rotação e aplicar o teorema dos eixos paralelos e então fazer.

I h a s t e = I m a i o r + I m e n o r

Após fazermos isso vamos calcular a velocidade angular e a aceleração angular usando a conservação da energia

E i = E f

A gente pode aplicar isso aqui pois a força atuante é a força peso que é conservativa.

Passo 2

Vamos ao momento de inércia, mas antes precisamos fazer um desenho.

A nossa ilustração é o seguinte:

Pra calcular o momento de inércia vamos primeiro fazer o seguinte:

M = λ d → λ = M d E aí aplicaremos o que foi falado antes:

I h a s t e = I m a i o r + I m e n o r

O momento de inércia de uma barra é:

I = 1 3 m L 2

Para a parte com distância 3 d / 4 :

I m a i o r = 1 3 λ 3 d 4 ⋅ 3 d 4 2 = 9 λ d 3 64

Para a parte com distância d / 4 :

I m e n o r = 1 3 λ d 4 ⋅ d 4 2 = λ d 3 3 ⋅ 64

Logo,

I h a s t e = 9 λ d 2 64 + λ d 3 3 ⋅ 64 = 28 λ d 3 3 ⋅ 64

Como λ = M d :

I h a s t e = 7 M d 2 48

Passo 3

Agora podemos aplicar a conservação da energia, ela vai nos dar uma relação com a velocidade angular.

E i = E f

U i + K i = U f + K f

Inicialmente a barra está parada e só tem energia potencial gravitacional então:

K i = 0

U i = M g h i = 3 4 M g 1 4 d s e n θ

E no final a barra se move com velocidade angular ω e está a uma outra altura, sendo assim:

K f = I ω 2 2

U f = 1 4 M g 1 4 d s e n θ

Colocando os termos na equação, temos:

U i - U f = K f

3 4 M g 3 4 d s e n θ - 1 4 M g 1 4 d s e n θ = I ω 2 2

Após a barra cair um ângulo θ :

8 M g d s e n θ 16 = I ω 2 2

Rearrumando a velocidade angular ω :

ω = M g d s e n θ 2 I

Como I = 7 M d 2 48 :

ω = 24 g s e n θ 7 d

E a aceleração angular é:

α = ω ∆ t = 24 g s e n θ 7 d × 1 ∆ t

E pra ficar legalzinho a gente pode passar a variação do tempo pra dentro da raíz:

α = 24 g s e n θ 7 d ∆ t 2

Resposta

  1. I h a s t e = 7 M d 2 48
  2. ω = 24 g s e n θ 7 d e α = 24 g s e n θ 7 d ∆ t 2  
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